矩阵

CIE A-Level 进阶数学· 单元1：进阶纯数学1，主题4：矩阵· 15 分钟阅读

1. 3×3矩阵的行列式★★☆☆☆⏱ 5 min

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📘 定义

行列式

\det(A) \text{ or } |A|

由方阵计算得到的标量值。非零行列式说明矩阵可逆，行列式为零说明矩阵奇异（不可逆）。

例:

对于2×2矩阵 $A = (a c b d)$ ， $det (A) = a d - b c$ 。

计算3×3矩阵的行列式时，我们使用余子式展开。对于任意元素 $a_{ij}$ ，其余子式为 $C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ ，其中 $M_{ij}$ （子式）是删除第i行和第j列后得到的2×2子矩阵的行列式。我们可以沿任意行或列展开。

📐 例题

求 $A = 13 - 2 210 0 - 1 3$ 的 $det (A)$

1
沿第一行展开（该行有一个零，可减少计算量）：
2
$\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} \\ C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 1(3 - 0) = 3 \\ C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = -1(9 - 2) = -7 \\ C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 + 2) = 2$
3
回代得到最终行列式：
4
$\det(A) = (1)(3) + (2)(-7) + (0)(2) = 3 - 14 = -11$

Exam tip:

始终沿零最多的行或列展开，减少计算量，节省答题时间。

2. 逆矩阵与矩阵的秩★★★☆☆⏱ 8 min

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📘 定义

矩阵的秩

\text{rank}(A)

A中线性无关行（或列）的最大数量。对于3×3矩阵：若 $det (A) \neq = 0$ ，秩为3；若 $det (A) = 0$ 但至少存在一个非零2×2子式，秩为2；若所有2×2子式都为零，秩为1。

例:

3×3奇异矩阵的秩小于3。

求3×3矩阵的逆矩阵我们使用伴随矩阵法： $A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )} adj (A)$ ，其中 $adj (A)$ （伴随矩阵）是A的余子式矩阵的转置。

📐 例题

求 $A = 13 - 2 210 0 - 1 3$ 的逆矩阵 $A^{- 1}$

1
我们已经知道 $det (A) = - 11 \neq = 0$ ，因此逆矩阵存在。首先构造完整的余子式矩阵C：
2
$C = \begin{pmatrix} 3 & -7 & 2 \\ -6 & 3 & -4 \\ -2 & 1 & -5 \end{pmatrix}$
3
伴随矩阵是C的转置：
4
$\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -7 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & -5 \end{pmatrix}$
5
除以 $det (A)$ 得到逆矩阵：
6
$A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{pmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -7 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{11} & \frac{6}{11} & \frac{2}{11} \\ \frac{7}{11} & -\frac{3}{11} & -\frac{1}{11} \\ -\frac{2}{11} & \frac{4}{11} & \frac{5}{11} \end{pmatrix}$
7
可以通过计算 $A A^{- 1}$ 验证是否得到单位矩阵，及时发现错误。

Exam tip:

切记转置余子式矩阵才能得到伴随矩阵，这是逆矩阵计算中最常见的错误之一。

3. 求解线性方程组★★★☆☆⏱ 7 min

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任意三元线性方程组都可以写成 $A x = b$ 的形式，其中A是系数矩阵， $x$ 是未知量向量， $b$ 是常数向量。解的个数取决于A和增广矩阵 $(A ∣ b)$ 的行列式与秩。

若 $det (A) \neq = 0$ ：秩(A) = 3，存在唯一解 $x = A^{- 1} b$
若 $det (A) = 0$ ：要么无解（不相容，秩(A) < 增广矩阵的秩），要么有无穷多解（秩(A) = 增广矩阵的秩 < 3）

📐 例题

求方程组的解： $x + 2 y = 5$ , $3 x + y - z = 0$ , $- 2 x + 3 z = - 11$

1
将方程组写成矩阵形式 $A x = b$ ，其中A是之前例题中的矩阵， $b = 50 - 11$ 。
2
我们知道 $det (A) = - 11 \neq = 0$ ，因此存在唯一解，使用 $x = A^{- 1} b$ 计算：
3
$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{11} & \frac{6}{11} & \frac{2}{11} \\ \frac{7}{11} & -\frac{3}{11} & -\frac{1}{11} \\ -\frac{2}{11} & \frac{4}{11} & \frac{5}{11} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ -11\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{37}{11} \\ \frac{46}{11} \\ -\frac{65}{11} \end{pmatrix}$
4
唯一解为 $x = - \frac{37}{11}$ , $y = \frac{46}{11}$ , $z = - \frac{65}{11}$ 。

Exam tip:

若题目要求证明方程组不相容，消元后寻找 $0 = k$ （ $k \neq = 0$ ）形式的矛盾即可。

4. 特征值与特征向量★★★☆☆⏱ 6 min

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📘 定义

特征值与特征向量

$λ$ (eigenvalue), $v$ (eigenvector)

对于方阵A，若存在标量 $λ$ 使得非零向量 $v$ 满足 $A v = λ v$ ，则 $v$ 是A的特征向量， $λ$ 是对应的特征值。求特征值需要解特征方程 $det (A - λ I) = 0$ 。

📐 例题

求 $A = (2112)$ 的特征值与特征向量

1
构造特征方程：
2
$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$
3
因式分解二次多项式得到特征值：
4
$(\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0 \implies \lambda = 1 \text{ and } \lambda = 3$
5
通过求解 $(A - I) v = 0$ 得到 $λ = 1$ 对应的特征向量：
6
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies y = -x$
7
$λ = 1$ 的所有特征向量都是 $(1 - 1)$ 的非零标量倍。对 $λ = 3$ 重复该过程：
8
$(A - 3I)\mathbf{v} = \mathbf{0} \implies y = x \implies \text{eigenvectors} = k\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}, k≠0$

Exam tip:

永远不要将零向量作为特征向量，答题时务必说明标量倍必须非零。

5. 常见陷阱

错误做法:

计算余子式时忘记乘以 $(- 1)^{i + j}$ 符号

原因:

符号错误是行列式和逆矩阵计算中最常见的错误

正确做法:

在草稿旁写出余子式符号矩阵 $+ - + - + - + - +$ ，逐一检查每个元素的符号

错误做法:

忘记转置余子式矩阵得到伴随矩阵

原因:

很多学生直接将余子式矩阵当作伴随矩阵，导致逆矩阵错误

正确做法:

除以行列式得到 $A^{- 1}$ 前，始终先对余子式矩阵进行转置

错误做法:

认为 $det (A) = 0$ 意味着方程组无解

原因:

行列式为零仅说明不存在唯一解，并非说明没有解

正确做法:

检查增广矩阵的秩：若秩(A) < 增广矩阵的秩，则无解；若秩相等，则有无穷多解

错误做法:

将零向量作为特征向量

原因:

特征向量的定义要求其非零，而零向量对任意 $λ$ 都满足 $A 0 = λ 0$

正确做法:

始终说明特征向量是基向量的非零标量倍

错误做法:

沿没有零的行展开3×3行列式

原因:

这会增加计算量，提高算术错误的概率，还会浪费时间

正确做法:

始终选择零最多的行或列展开行列式

6. 速查表

概念	核心规则/公式
3×3行列式	沿零最多的行/列展开： $det (A) = \sum a_{ij} C_{ij}$
逆矩阵	$A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )} adj (A)$ , $adj (A) = C^{T}$
奇异矩阵	$det (A) = 0$ ，不存在逆矩阵
线性方程组 $A x = b$	$det (A) \neq = 0 \Rightarrow$ 唯一解 $x = A^{- 1} b$ ； $det (A) = 0 \Rightarrow$ 检查秩判断无解/无穷多解
特征方程	$det (A - λ I) = 0$ ，求解得到特征值
特征向量	求解 $(A - λ I) v = 0$ ，且 $v \neq = 0$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
3×3逆矩阵、线性方程组
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下一步

矩阵是CIE A-Level进阶数学中所有线性代数主题的基础构件。你在这里掌握的技能——行列式计算、逆矩阵求解、线性方程组求解、特征值运算——会在所有进阶纯数学单元的高级主题中反复使用。理解矩阵的核心性质对于在后续课程的线性变换、矩阵对角化和微分方程组题目中拿到满分至关重要。现在熟练掌握矩阵运算，会降低未来单元中更复杂主题的学习难度。