单元总览

排列与组合

CIE IGCSE 附加数学· 5 分钟阅读 📊 占试卷1和试卷2总分的5-8%

1. 单元概览

计数类题目在考试中占固定分值，本单元将搭建逻辑框架，帮助你判断任意给定计数问题应当使用哪条计数规则。你将从基础定义出发，逐步应用规则解决带约束的复杂问题，例如指定元素必须相邻、选择组受限等情况。

本单元包含1个核心子主题，覆盖排列与组合的全部要求内容：

涵盖定义、公式、限制条件处理规则，以及常见考试计数题的分步解题指导。

★★★⏱ 15 min

错误做法:

对无序选择类问题使用排列

原因:

排列统计的是有序排列的总数，将其用于无序分组会导致相同元素集合被重复计数

正确做法:

无序分组使用组合，仅当顺序或位置有要求时使用排列

错误做法:

将「必须相邻」的元素合并为一个整体后，忘记计算该整体内部的排列数

原因:

要求相邻的元素会组成一个单元，但该单元内部的元素之间仍然可以互相排列

正确做法:

将相邻元素打包为一个整体，先排列所有整体，再乘以打包元素内部的排列数

错误做法:

对带重叠选择条件的组合进行重复计数

原因:

应用分层选择规则时多次统计同一组元素，会导致结果被高估

正确做法:

使用补集计数法，或将分组拆分为互不重叠的集合以避免重复

公式	适用场景
$n! = n \times (n - 1) \times ... \times 1$	计算n的阶乘，是所有排列/组合计算的基础
$^{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}$	从n个不同元素中选取r个的有序排列总数
$^{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$	从n个不同元素中选取r个的无序组合总数
$^{n} P_{r} = r! \times^{n} C_{r}$	排列与组合的转换关系，适用于求解含n的代数方程类问题
Total arrangements - invalid arrangements	带多重约束问题的补集计数方法

请先学习下方链接的核心「排列与组合」子主题，你将在其中学到定义、规则推导和所有常见考试题型的完整例题解析。掌握这些计数规则后，可以继续学习级数单元，其中会用到相同的 $^{n} C_{r}$ 系数来构建二项式展开式。