排列与组合

附加数学· Syllabus sections 11.1, 11.2, 11.3· 25 分钟阅读

1. 1. 阶乘记号与核心规则★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

阶乘

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1

对于正整数n，n!是1到所有正整数的乘积。特殊约定 $0! = 1$ 是排列计算中避免出现未定义值的通用标准规则。

例:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

阶乘是排列与组合计算的基础。在不允许使用计算器的试卷中，务必先约去公有的阶乘项再做乘法，避免计算过大的数值导致出错。

📐 例题

不使用计算器化简 $\frac{7 !}{4 !}$ 。

1
步骤1：展开较大的阶乘，将较小的阶乘作为其中一个因子包含在内：
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4!$
2
步骤2：约去分子和分母中相同的4!项：
$\frac{7!}{4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!} = 7 \times 6 \times 5$
3
步骤3：计算最终结果：
$7 \times 6 \times 5 = 210$

2. 2. 排列（顺序相关）★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

排列

^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

从n个不同物体中选出r个不重复的物体进行有序排列。当交换两个选中的元素会得到不同结果时，就应当使用排列。

例:

从{A,B,C}中选2个字母进行排列的总方法数： $^{3} P_{2} = 6$ （AB, BA, AC, CA, BC, CB）

排列的常见应用场景包括排队安排人员、颁发排名奖项、排列单词中的不同字母等。

📐 例题

4本不同的书在书架上排列，总共有多少种摆放方式？

1
步骤1：确定n=4，r=4（我们需要排列全部4本书）：
$^4P_4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{0!}$
2
步骤2：代入 $0! = 1$ 并计算：
$\frac{4!}{1} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

3. 3. 组合（顺序无关）★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

组合

^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}

从n个不同物体中选出r个不重复的物体进行无序选取。当交换两个选中的元素不会改变最终结果时，就应当使用组合。

例:

从{A,B,C}中选2个字母的总选取方法数： $^{3} C_{2} = 3$ （AB, AC, BC）

组合的常见应用场景包括选拔团队、挑选出行物品、在试卷中选择要作答的题目等。

📐 例题

从8名符合条件的学生中选出3人组成委员会，总共有多少种选法？

1
步骤1：确定n=8，r=3（委员会成员没有等级区分，因此顺序无关）：
$^8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}$
2
步骤2：约去共有的5!项：
$\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6}$
3
步骤3：化简得到最终结果：
$8 \times 7 = 56$

4. 4. 求解带约束的计数问题★★★★☆⏱ 8 min

绝大多数考试题目都带有简单约束：要么要求特定元素必须被选入/排入，要么要求特定元素必须被排除。请始终优先处理固定的约束条件，再计算剩余部分的自由选择数。

📐 例题

10名学生中有一对双胞胎。若要选出一个4人团队，且必须包含这两名学生，总共有多少种选法？

1
步骤1：处理“必须包含”的约束：两名指定学生已经确定入选，因此我们只需要从剩下的8名学生中再选出2名成员即可。
2
步骤2：计算剩余名额的组合数：
$^8C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

✓ 快速检测

给10名赛跑选手颁发一等奖、二等奖、三等奖，计算总颁奖方式数属于排列问题还是组合问题？
- 排列
- 组合
显示答案
Permutation —
排名奖项的顺序是有意义的：一等奖和二等奖是不同的结果，因此这是一个排列问题。

5. 5. 涉及 $^nP_r$ 与 $^nC_r$ 的代数问题★★★★☆⏱ 8 min

考试中非常常见的一类题型是给出包含 $^{n} P_{r}$ 或 $^{n} C_{r}$ 的方程，要求求出n的值。解题方法始终一致：将每一项替换为其阶乘定义，约去公共阶乘因子，最终得到一个简单的多项式方程（通常是二次方程）进行求解。注意要舍去所有不符合表达式定义的负数或过小的解（要求满足 $n \geq r$ ）。

📐 例题

已知 $^{n} C_{4} = 6^{n} C_{2}$ ，求n的值。

1
步骤1：使用 $^{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$ 写出每一项组合的展开形式：
$\frac{n!}{4!(n-4)!} = 6 \times \frac{n!}{2!(n-2)!}$
2
步骤2：等式两边同时除以非零的 $n!$ ，再进行交叉相乘：
$2!\,(n-2)! = 6 \times 4!\,(n-4)!$
3
步骤3：代入 $2! = 2$ 和 $4! = 24$ ，展开 $(n - 2)! = (n - 2) (n - 3) (n - 4)!$ ，随后约去 $(n - 4)!$ ：
$2(n-2)(n-3) = 144$
4
步骤4：两边除以2并展开得到二次方程：
$(n-2)(n-3) = 72 \;\Rightarrow\; n^2 - 5n - 66 = 0$
5
步骤5：因式分解后求解，舍去负根：
$(n-11)(n+6) = 0 \;\Rightarrow\; n = 11$

📐 例题

证明 $^{n} C_{3} +^{n} C_{2} = \frac{1}{6} (n^{3} - n)$ ，并据此求解方程 $^{n} C_{3} +^{n} C_{2} = 35$ 。

1
步骤1：使用阶乘定义将每一项写为乘积形式：
$^nC_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \quad {}^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$
2
步骤2：将两项通分到公分母6：
$^nC_3 + {}^nC_2 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} + \frac{3n(n-1)}{6}$
3
步骤3：从分子中提取公因子 $n (n - 1)$ ：
$= \frac{n(n-1)[(n-2)+3]}{6} = \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$
4
步骤4：由于 $n (n - 1) (n + 1) = n (n^{2} - 1) = n^{3} - n$ ，恒等式得证：
$^nC_3 + {}^nC_2 = \frac{1}{6}(n^3 - n)$
5
步骤5：因此令表达式等于35，通过试值法求解得到的三次方程（n必须为满足 $n \geq 3$ 的正整数）：
$\frac{1}{6}(n^3 - n) = 35 \;\Rightarrow\; n^3 - n - 210 = 0 \;\Rightarrow\; n = 6$

6. 6. 相邻、不相邻以及至少/至多问题★★★★☆⏱ 8 min

在0606计数类考题中，有两类约束条件反复出现：第一类是排列问题中指定元素必须相邻或必须不相邻；第二类是选取问题中选出的集合必须包含至少/至多指定数量的某类元素。两类问题都有成熟的标准解法。

📘 定义

「相邻」问题的捆绑法

\text{arrangements} = (\text{units})! \times k!

当k个指定元素在排列中必须相邻时，将它们捆绑为一个整体块。将这个块和其余独立元素作为独立单元排列，得到（单元数）! 种排列方式，再乘以k! 得到块内部元素的排列顺序。对于「不相邻」问题，可以使用补集法：总排列数减去所有指定元素相邻的排列数。

例:

5个人排成一排，其中2人必须相邻：将这2人捆绑为1个块，共得到4个排列单元，因此总排列数为 $4! \times 2! = 48$ 。

📐 例题

5名不同的人排成一排拍照。(a) 其中指定的两人A和B相邻的排列方式有多少种？(b) A和B不相邻的排列方式有多少种？

1
(a) 第1步：将A和B捆绑为一个单独的块。这个块和其余3人共得到4个排列单元：
$\text{units} = 4 \;\Rightarrow\; 4! = 24$
2
(a) 第2步：块内部A和B可以排列为AB或BA，共 $2!$ 种内部顺序。将两个阶段的结果相乘：
$4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$
3
(b) 第1步：计算5人无限制的全排列总数：
$5! = 120$
4
(b) 第2步：「不相邻」是「相邻」的补集，因此减去(a)的结果即可：
$120 - 48 = 72$

📐 例题

从15名球员中选出8人组成一支队伍。其中有4名球员是好友，他们要么全部入选，要么全部不入选，否则都不参赛。求这支队伍的可选组成方式总数。

1
步骤1：选取是无序的，因此使用组合计算。和排列的捆绑法不同，这里不需要乘以内部的 $k!$ ，因为队伍没有顺序。条件「四人全部入选或全部不入选」可以拆分为两个独立的情况：四人全部入选，或四人全部不入选。
2
步骤2：情况1——四名好友全部入选。他们占据了8个名额中的4个，因此从其余11名球员中选出剩下的4人：
${}^{11}C_{4} = 330$
3
步骤3：情况2——四名好友全部不入选。从其余11名球员中选出全部8人：
${}^{11}C_{8} = {}^{11}C_{3} = 165$
4
步骤4：两种情况互斥，因此将结果相加：
$330 + 165 = 495$

📐 例题

从6名男性和4名女性中选出4人组成一支队伍。若队伍中至少包含2名女性，求可选的组成方式总数。选取是无序的。

1
步骤1：「至少2名女性」意味着恰好2名、恰好3名或恰好4名女性。将问题拆分情况，使用组合分别计数，因为选取没有顺序。
2
步骤2：恰好2名女性（对应2名男性）：从4名女性中选2人，从6名男性中选2人：
${}^{4}C_{2} \times {}^{6}C_{2} = 6 \times 15 = 90$
3
步骤3：恰好3名女性（对应1名男性）：
${}^{4}C_{3} \times {}^{6}C_{1} = 4 \times 6 = 24$
4
步骤4：恰好4名女性（对应0名男性）：
${}^{4}C_{4} \times {}^{6}C_{0} = 1 \times 1 = 1$
5
步骤5：将所有情况的结果相加得到最终总数：
$90 + 24 + 1 = 115$
6
使用补集法验证（总队伍数减去女性人数为0或1的队伍数），两种方法结果一致：
${}^{10}C_{4} - ({}^{6}C_{4} + {}^{4}C_{1}\,{}^{6}C_{3}) = 210 - (15 + 80) = 115$

7. 7. 数字与密码的构造★★★★☆⏱ 9 min

0606 考试中非常常见的一类题型会给出一组数字，要求计算从中可以构造出多少个k位数，通常还附带额外条件：该数必须为偶数、奇数、能被5整除，或者大于某个指定值。将每一个数位视为待填充的空位，使用乘法原理求解，但务必优先处理有约束的位置。

📘 定义

构造数字的位置（空位）法

\text{total} = (\text{choices for restricted slots}) \times (\text{choices for the remaining slots})

先填充约束最多的位置，再依次处理其余位置。末位（个位）的取值由奇偶性、整除性条件决定：偶数的末位为0、2、4、6、8；奇数的末位为1、3、5、7、9；5的倍数的末位为0或5。首位绝对不能为0，否则得到的数位数会不足。当0既允许作为末位、又被禁止出现在首位时，两个约束会对同一个数字产生冲突，因此需要按末位的取值将计数拆分为不同情况分别计算。

例:

从集合{1,2,3,4,5}中选取数字构造无重复的三位偶数：个位只能取2或4（共2种选择），剩余4个数字中选2个填充前两位，排列数为 $^{4} P_{2} = 12$ ，总个数为 $2 \times 12 = 24$ 。

📐 例题

使用数字1、2、3、4、5构造无重复数字的三位数，一共可以得到多少个三位偶数？

1
步骤1：一个数是偶数当且仅当它的个位（末位）是偶数。在{1,2,3,4,5}中，偶数为2和4，因此优先填充这个受约束的位置：
$\text{units digit} \in \{2,4\} \Rightarrow 2 \text{ choices}$
2
步骤2：现在已经用掉了一个数字，剩余4个数字可用于填充百位和十位。将这4个数字中的2个按顺序排列（此处无需考虑0的问题）：
$^4P_2 = 4 \times 3 = 12$
3
步骤3：使用乘法原理将各阶段的选择数相乘：
$2 \times 12 = 24$
4
步骤4（校验）：所有无重复三位数的总排列数为 $^{5} P_{3} = 60$ 。其中奇数的个位属于{1,3,5}（共3种选择），剩余两个空位的排列数为 $^{4} P_{2} = 12$ ，即奇数总个数为 $3 \times 12 = 36$ 。因此偶数的个数为 $60 - 36 = 24$ ，与之前的计算结果一致。
$60 - 36 = 24$

📐 例题

使用数字0、1、2、3、4构造无重复数字的三位数：(a) 一共可以构造出多少个三位数？(b) 其中有多少个是偶数？

1
(a)部分，步骤1：百位（首位）不能为0，否则得到的结果就不是三位数。从{1,2,3,4}中选择百位数字：
$\text{hundreds digit} \in \{1,2,3,4\} \Rightarrow 4 \text{ choices}$
2
(a)部分，步骤2：十位和个位从剩余的4个数字中选取（这一数字集合现在包含0），从这4个数字中选2个按顺序排列：
$^4P_2 = 4 \times 3 = 12$
3
(a)部分，步骤3：将各阶段的选择数相乘：
$4 \times 12 = 48$
4
(b)部分，步骤4：偶数的末位必须是偶数；在{0,1,2,3,4}中，偶数为0、2、4。由于0同时被禁止出现在百位，我们按个位的取值拆分情况，避免两个规则产生冲突。
5
(b)部分，步骤5：情况1 — 个位为0。此时百位可以从{1,2,3,4}中任选（共4种选择），十位从剩余的3个数字中任选：
$1 \times 4 \times 3 = 12$
6
(b)部分，步骤6：情况2 — 个位为2或4（共2种选择）。此时0尚未被使用，但不能放在百位，因此百位有 $4 - 1 = 3$ 种选择，十位从剩余的3个数字中任选：
$2 \times 3 \times 3 = 18$
7
(b)部分，步骤7：将两种情况的结果相加，得到三位偶数的总个数：
$12 + 18 = 30$
8
(b)部分，步骤8（校验）：根据(a)部分的结果，总共有48个三位数。其中奇数的个位属于{1,3}（共2种选择），百位为非零数字（3种选择），十位可任选剩余数字（3种选择），得到奇数总个数为 $2 \times 3 \times 3 = 18$ 。因此偶数的个数为 $48 - 18 = 30$ ，与之前的计算结果一致。
$48 - 18 = 30$

同样的空位法也适用于由混合字符集（字母、数字、符号组合）构成的验证码和密码。优先填充所有受约束的位置，再填充其余位置，对于「至少包含一个某类字符」的条件，可以使用补集法（总个数减去不符合要求的个数）快速计算。

📐 例题

某密码长度为4位，由5个不同字母、3个不同数字和2个不同符号构成（共10个互不相同的字符），字符不允许重复。(a) 一共可以生成多少种不同的密码？(b) 以字母开头、以数字结尾的密码有多少种？(c) 至少包含一个字母的密码有多少种？

1
(a)部分：共有10个不同字符，填充4个有序位置且不允许重复，这是一个基础的排列问题：
$^{10}P_4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$
2
(b)部分，步骤1：优先填充两个受约束的位置。第一个字符是5个字母中的任意一个，最后一个字符是3个数字中的任意一个：
$5 \times 3 = 15$
3
(b)部分，步骤2：中间两个位置从剩余的8个字符中选取，按顺序排列：
$^8P_2 = 8 \times 7 = 56$
4
(b)部分，步骤3：将各阶段的选择数相乘：
$15 \times 56 = 840$
5
(c)部分：「至少包含一个字母」用补集法计算最快。完全不含字母的密码仅使用5个非字母字符（3个数字+2个符号）：
$^5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$
6
将这部分数量从(a)部分的总数量中减去：
$5040 - 120 = 4920$

8. 常见陷阱

错误做法:

对无序选取使用排列（例如从5人中选2人组队时使用 $^{5} P_{2}$ ）

原因:

排列会将每个无序对计数两次（例如Alice+Bob和Bob+Alice被视为两个不同结果），但在无序选取中这两个结果是完全相同的。

正确做法:

无序选取使用组合，有序排布使用排列。

错误做法:

忘记 $0! = 1$ ，导致计算 $^{n} P_{n}$ 时出现除零错误

原因:

阶乘的定义明确规定 $0! = 1$ ，避免在排布全部n个对象时出现无意义的未定义值。

正确做法:

牢记 $0! = 1$ 是所有阶乘计算必须遵守的硬性规则。

错误做法:

尝试用标准排列公式求解环形排列问题

原因:

环形排列的计数规则不同，且明确不在0606的考纲范围内。

正确做法:

0606的所有排列问题均为线性排列，仅使用标准 $^{n} P_{r}$ 公式即可。

错误做法:

在同一问题中混合使用排列和组合

原因:

0606的题目设计为仅使用排列或仅使用组合，二者混用会导致重复计数。

正确做法:

首先确认问题是否要求考虑顺序，之后整个问题仅使用对应的公式。

错误做法:

在非计算器试卷中直接计算完整阶乘值而不先约分

原因:

过大的阶乘值会导致乘法计算容易出错，同时浪费时间。

正确做法:

相乘之前先将分子和分母中的公共阶乘项约去。

9. 速查表

概念	公式	适用场景
阶乘	$n! = n \times (n - 1) \times ... \times 1$ , $0! = 1$	所有计数问题的基础计算
排列	$^{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}$	对象不重复的有序排布
组合	$^{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$	对象不重复的无序选取
必选约束（组合/选取）	固定k个必选对象，再选剩余部分： $^{n - k} C_{r - k}$	从n个对象中选r个，要求k个特定对象必须被选中（顺序无关）
必选约束（排列/排布）	先将k个必选对象放入指定位置（ $^{r} P_{k}$ ），再从剩余对象中选 $r - k$ 个排布（ $^{n - k} P_{r - k}$ ）	从n个对象中选r个排布，要求k个特定对象必须被包含（顺序相关）
必不选约束	将总可选对象数n减去需排除的对象数，保持选取数r不变	禁止选取特定对象的问题

10. 常见问题

0606考试中我会拿到nPr和nCr的公式吗？

不会，这些公式不在0606的公式手册中，因此你必须熟记它们，无论是允许使用计算器还是不允许使用计算器的试卷都要用到。

我可以在第2卷考试中使用计算器的nPr/nCr功能吗？

可以，你可以在第2卷使用计算器内置的排列和组合计算功能，但必须写出全部推导过程以获得步骤分。

下一步

掌握CIE IGCSE附加数学0606的排列与组合内容后，你可以将这些计数技巧应用到考纲的其他部分，最直接的是二项式定理，其中相同的 $^{n} C_{r}$ 系数会出现在 $(a + b)^{n}$ 的展开式中。排列与组合的题目平均占考试总分的5-8%，因此请练习过往真题以提升解题速度和准确率，尤其是非计算器试卷中的题目，你需要手动化简阶乘分式。请注意环形排列、重复对象以及排列组合混合问题均不属于0606的考察范围，你无需为考试练习这类内容。接下来请学习级数单元（二项式定理与级数），这些计数技巧将被用于推导二项展开式。