斜率推断入门 — AP 统计学
1. 总体斜率 vs 样本斜率 ★★☆☆☆ ⏱ 10 min
我们几乎永远无法获得整个总体所有$(x,y)$对的数据。我们收集随机样本，计算样本斜率$b_1$，并用它对未知的总体斜率$\beta_1$进行推断。我们通过考虑$b_1$的抽样变异性来得出关于总体的结论。
2. 斜率推断的条件 ★★★☆☆ ⏱ 15 min
斜率推断依赖于四个核心条件，必须在分析前进行验证。这些条件确保样本斜率的抽样分布服从我们用于推断的t分布。
- **线性（Linear）**: $x$和$y$之间的真实关系是线性的（可通过残差图检查是否无曲线趋势）。
- **独立（Independent）**: 观测值之间相互独立（不放回抽样时需满足样本量$n < 10\%$总体大小）。
- **正态（Normal）**: 残差在回归线附近近似服从正态分布（可通过残差的正态概率图检查，或确认无强偏态/离群点）。
- **等方差（Equal Variance）**: 所有$x$取值对应的残差离散程度恒定（可通过残差图检查是否无扇形扩散趋势）。
3. 斜率推断的假设 ★★★☆☆ ⏱ 12 min
我们几乎总是检验原假设：总体中$x$和$y$之间*不存在线性关系*，对应总体斜率为零。备择假设可以是双侧（不指定方向）或单侧（有方向的论断）。
H_0: \beta_1 = 0 \\ H_a: \beta_1 \neq 0 \quad (\text{two-sided}) \\ H_a: \beta_1 > 0 \text{ or } \beta_1 < 0 \quad (\text{one-sided})
4. 样本斜率的抽样分布 ★★★★☆ ⏱ 15 min
当四个LINE条件都满足时，样本斜率$b_1$的抽样分布近似正态，中心为真实总体斜率$\beta_1$。该分布的标准差由斜率的标准误$SE_{b_1}$估计，而标准误几乎总是由统计软件计算得到。
Common Pitfalls
Why: 回归线建模的是给定$x$时$y$的均值，而非$y$的个体值。
Why: $b_1$是从样本计算得到的已知值，我们不需要对已知值进行假设检验。假设永远是关于未知总体参数的。
Why: 斜率为零仅说明$x$和$y$之间不存在*线性*关系，仍然可能存在强曲线关系。
Why: 如果样本量超过总体的10%，观测值就不独立，标准误估计会不准确。