配对数据均值差异的推断 — AP 统计学
1. 配对数据与研究设计 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
当我们比较的两个组中，观测值之间存在天然的一一对应匹配关系时，就得到了配对数据。两种常见场景会产生配对数据，配对可以消除组间变异，降低标准误，让推断比独立样本更有力。
- **重复测量**: 同一个实验单元在两种不同条件下各测量一次（例如：运动前后的心率）
- **匹配配对设计**: 将实验单元根据共同混淆变量匹配成对，每对中的两个单元分别接受一种处理
Exam tip: 拿不准的时候，问自己：'第一组的每个观测值，在第二组中是否都有且只有一个唯一的关联观测值？'如果是，那就是配对数据。
2. 配对t推断的条件 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
所有配对t步骤都需要满足三个条件，所有条件都基于差值样本（而非原始两组测量值）验证，逻辑和单样本t步骤类似。
- **随机**: 配对是从总体中随机选取的，或者处理是在配对内随机分配的
- **正态/大样本**: 当$n \geq 30$，或$n < 30$但差值分布没有强偏斜/异常值时，$\bar{d}$的抽样分布近似正态
- **独立**: 差值之间相互独立；无放回抽样时，10%条件（$N \geq 10n$）适用
Exam tip: 一定要基于差值验证条件，而非原始的两个组。AP考试会给在未配对原始数据上验证条件的作答扣分。
3. 总体均值差异的配对t检验 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
配对t检验用于检验关于真实总体均值差异$\mu_d$的断言。几乎所有情况下，原假设都是$H_0: \mu_d = 0$，因为我们检验配对测量值之间是否存在差异。检验统计量是：
t = \frac{\bar{d} - \mu_{d0}}{s_d / \sqrt{n}}
其中$\mu_{d0}$是原假设的差值（几乎总是0），自由度为$df = n - 1$。
Exam tip: 在书写假设前，一定要在情境中定义$\mu_d$，明确哪一个测量值减去哪一个。这是拿满分的必要要求。
4. 总体均值差异的配对t置信区间 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
配对t置信区间用于估计$\mu_d$的真实值，它量化了均值差异的大小，而不只是检验差值是否非零。如果区间不包含0，那么对于双侧检验，我们可以在显著性水平$\alpha = 1-C$下拒绝$H_0: \mu_d = 0$，其中C是置信水平。公式是：
\bar{d} \pm t^* \times \frac{s_d}{\sqrt{n}}
其中$t^*$是置信水平$C$、自由度$df = n-1$对应的临界t值，第二项是边际误差。
Exam tip: 解释区间时，一定要在情境中明确差值的方向（哪一组减哪一组）。模糊的解释会扣分。
5. 概念检测 ★★☆☆☆ ⏱ 1 min
Common Pitfalls
Why: 学生看到两组测量值就自动选择双样本方法，没有检查是否配对
Why: 学生忘记推断是基于差值进行的，而非原始测量值
Why: 虽然$\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = \bar{d}$成立，但用原始标准差计算标准误是错误的
Why: 学生混淆t和z的区别，错误认为大样本可以用z方法
Why: 学生混淆了个体差值的分布和均值差异的置信区间
Why: 学生在拒绝/不拒绝$H_0$后就停止作答，没有回答原始的研究问题