单总体比例假设检验介绍 — AP 统计学

1. 陈述原假设与备择假设 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

所有假设检验都从关于未知总体比例 $p$ 的两个对立声明开始。**原假设**（$H_0$）是默认的无效应、无差异或现状声明，按惯例始终包含等号。**备择假设**（$H_a$）是我们需要寻找证据支持的研究声明，从不包含等号。

• 单侧（左尾）：$H_a: p < p_0$（怀疑真实比例低于原假设声明）
• 单侧（右尾）：$H_a: p > p_0$（怀疑真实比例高于原假设声明）
• 双侧：$H_a: p \neq p_0$（怀疑真实比例不同，无指定方向）

Exam tip: 书写假设前，请务必结合问题背景定义参数 $p$。即使你的假设书写正确，AP统计学阅卷员也要求完成这一步才能给满分。

2. 验证单比例Z检验的条件 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

进行推断前，我们必须验证三个核心条件，以确保抽样分布近似正态，从而保证p值计算准确。这三个条件可以总结为：随机性、独立性、正态性。

• **随机性**：数据来自随机样本或随机化实验，保证样本无偏。
• **独立性**：无放回抽样时，10%条件要求样本量 $n$ 小于总体大小的10%（$n < 0.1N$）。这保证观测可以被视为独立的。
• **正态性（大计数条件）**：如果 $np_0 \geq 10$ 且 $n(1-p_0) \geq 10$，则 $\hat{p}$ 的抽样分布近似正态。对于假设检验，我们使用原假设中的假设值 $p_0$（而非 $\hat{p}$），因为检验时我们假设 $H_0$ 为真。

Exam tip: 如果题目没有明确说明总体大小，只要总体明显远大于样本，就可以认为10%条件满足。

3. 计算检验统计量和P值 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

如果所有条件都满足，我们假设 $H_0$ 为真，因此 $\hat{p}$ 的抽样分布近似正态，均值为 $p_0$，标准差为 $\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}$，即原假设下的标准误。

z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}

**p值**是*在原假设 $H_0$ 为真的前提下*，观测到检验统计量与你的样本计算结果一样极端或更极端的概率。p值的计算取决于备择假设的形式：

• 左尾（$H_a: p < p_0$）：$\text{p-value} = P(Z < z)$
• 右尾（$H_a: p > p_0$）：$\text{p-value} = P(Z > z)$
• 双侧（$H_a: p \neq p_0$）：$\text{p-value} = 2P(Z > |z|)$（单侧面积翻倍）

Exam tip: 在自由作答题中，即使你用计算器得到最终结果，也必须写出z检验统计量的公式才能得满分。

4. 结合背景得出结论 ★★☆☆☆ ⏱ 2 min

计算出p值后，我们将其与预先指定的显著性水平 $\alpha$ 比较，除非题目给出其他值，否则 $\alpha$ 几乎总是取0.05。统计上正确的结论只有两种：

• 如果 $\text{p-value} < \alpha$：**拒绝 $H_0$**。结合问题背景，存在令人信服的统计证据支持备择假设 $H_a$。
• 如果 $\text{p-value} \geq \alpha$：**不拒绝 $H_0$**。结合问题背景，不存在令人信服的统计证据支持备择假设 $H_a$。

Exam tip: 如果你的结论与p值比较结果矛盾，AP阅卷员会扣分，因此务必反复检查你的决策是否与p值匹配。

5. 更多AP风格的完整例题 ★★★☆☆ ⏱ 2 min