两个比例差异的推断 — AP 统计学

1. 核心概念与抽样分布 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

两个比例差异的推断是一组统计方法，用于比较两个独立总体或两个实验处理组之间的成功比例（二分类结果）。核心目标是利用两个独立样本的数据，对两个总体比例的真实差异做出推断。

$\hat{p}_1 - \hat{p}_2$的抽样分布具有以下核心性质：

\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2

\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}

当满足条件时，抽样分布近似服从正态分布，因此我们可以对该差异使用z推断。

2. 有效推断的条件 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

所有有效推断都需要满足四个核心条件，正态性检验的方法根据推断类型不同有所区别：

• **随机性**：两组都来自独立随机样本或随机对照实验，保证估计无偏。
• **10%条件**：从有限总体无放回抽样时，每个样本量不得超过总体的10%，以保证组内独立性。随机实验不需要满足该条件。
• **组间独立性**：两个组相互独立（不存在匹配或成对数据）。
• **大数条件（正态性）**：置信区间：四个观测计数$n_1\hat{p}_1, n_1(1-\hat{p}_1), n_2\hat{p}_2, n_2(1-\hat{p}_2) \geq 10$。对于$H_0: p_1=p_2$的假设检验：合并计数$(n_1 + n_2)\hat{p}_{pooled}$和$(n_1 + n_2)(1-\hat{p}_{pooled}) \geq 10$。

Exam tip: 题目要求时必须明确写出每一个条件；AP阅卷官会给每个正确验证的条件单独给分，绝对不要遗漏任何一个。

3. $p_1 - p_2$的置信区间 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

两个比例差异的置信区间给出了真实差异$p_1 - p_2$的所有合理取值范围。置信区间从不合并样本比例，因为我们估计差异时不假设$p_1 = p_2$，因此始终使用未合并标准误。

(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z^*\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}

其中$z^*$是对应置信水平的临界值（例如，95%置信度对应$z^* = 1.96$，90%置信度对应$z^* = 1.645$）。如果0落在区间内，说明0是真实差异的合理取值，意味着在显著性水平$\alpha = 1 - \text{置信水平}$下，没有统计学显著证据表明存在差异。

Exam tip: 如果交换$p_1$和$p_2$的顺序，区间边界会改变符号，但0是否在区间内的结论保持不变。只需确保你的解释和差异的顺序一致即可。

4. 比例差异的假设检验 ★★★☆☆ ⏱ 5 min

我们使用假设检验来检验两个总体比例是否存在差异的命题。最常见的原假设是$H_0: p_1 - p_2 = 0$（两个比例没有差异）。由于原假设假设$p_1 = p_2$，我们将两个样本合并得到共同总体比例的单一估计值，从而为检验得到更准确的标准误。

合并标准误和z检验统计量为：

SE_{pooled} = \sqrt{\hat{p}_{pooled}(1-\hat{p}_{pooled})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}

z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - 0}{SE_{pooled}}

Exam tip: 只有原假设为$p_1 - p_2 = 0$时才使用合并法。非零原假设差异（AP考试中极罕见）需要使用未合并标准误。