样本均值的抽样分布 — AP 统计学

1. 什么是样本均值的抽样分布？ ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

样本均值的抽样分布（常简写为$\bar{x}$的抽样分布）是从给定总体中抽取所有相同固定大小$n$的随机样本，计算得到的样本均值统计量的概率分布。它与总体分布（总体中所有个体值的分布）和样本分布（单个采集样本中值的分布）不同。

2. $\bar{x}$抽样分布的均值和标准误 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

任何抽样分布的两个核心性质是中心（均值）和离散程度（标准差，在此处称为标准误）。对于从均值为 $\mu$、标准差为 $\sigma$的总体中抽取的任意大小为$n$的简单随机样本， $\bar{x}$抽样分布的均值始终等于总体均值：

\mu_{\bar{x}} = \mu

这说明样本均值 $\bar{x}$是总体均值 $\mu$的无偏估计量：在重复抽样中，所有可能样本均值的平均值等于真实总体均值。抽样分布的离散程度由下式给出：

\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

该公式仅在满足两个条件时成立：(1) 样本中的观测值相互独立，对于不放回抽样，这要求满足10%条件：样本量$n$不超过总体总大小$N$的10%（$n \leq 0.1N$）。如果是有放回抽样或总体为无穷大，10%条件自动满足。从直观上看，增大样本量$n$会减小标准误，意味着更大的样本得到的样本均值平均而言更接近真实总体均值。

Exam tip: 在AP自由作答题（FRQ）中，如果你在使用$\sigma/\sqrt{n}$公式前没有明确陈述并检查10%条件，会被扣一分。即使条件明显满足，也一定要写上这一步。

3. 中心极限定理（CLT） ★★★☆☆ ⏱ 3 min

中心极限定理（CLT）是一个核心结论，它让我们即使在基础总体不服从正态分布时，也可以对样本均值使用正态分布计算。正式来说，中心极限定理指出，对于任意总体分布（无论其形状如何：偏态、均匀、双峰等），随着样本量$n$增大，样本均值 $\bar{x}$的抽样分布会近似服从正态分布。在AP统计学中，我们遵循经验法则：当$n \geq 30$时，样本量足够大，中心极限定理的近似成立。如果原总体已经服从正态分布，那么无论样本量多小， $\bar{x}$的抽样分布都精确服从正态分布，因此这种情况下不需要使用中心极限定理。

从直观上看，中心极限定理成立是因为取平均会抵消个体观测中的极端值。即使很多个体值非常高或非常低，多个值的平均值也会倾向于聚集在均值附近，因此即使原分布不是钟形，平均值的分布也会呈现钟形。

Exam tip: 仅当总体不服从正态分布时才需要引用中心极限定理。如果总体已经是正态的，你不需要CLT来断言抽样分布的正态性；只要说明总体是正态的，对任何样本量都足够。AP评分员在这种情况下会因错误引用CLT扣分。

4. 计算样本均值的概率 ★★★★☆ ⏱ 4 min

该知识点在AP考试中最常见的应用是计算样本均值落在给定区间内的概率。计算的分步流程如下：

1. 检查条件：(a) 独立性的10%条件，(b) 抽样分布的正态性（要么总体正态，要么$n \geq 30$且中心极限定理适用）。
2. 计算 $\mu_{\bar{x}} = \mu$和 $\sigma_{\bar{x}} = \sigma/\sqrt{n}$。
3. 计算观测样本均值 $\bar{x}$的z分数：
4. 利用标准正态分布得到所求概率。

z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}

注意这和个体观测的z分数不同，个体观测使用 $\sigma$（总体标准差）而非 $\sigma/\sqrt{n}$（标准误）。

Exam tip: 如果题目要求个体观测落在某个区间的概率，使用 $\sigma$；如果要求样本均值落在某个区间的概率，始终使用 $\sigma/\sqrt{n}$。计算前务必再次检查题目要求的是哪一个。