几何分布 — AP 统计学

1. 什么是几何分布？ ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

几何分布是一种离散概率分布，用于模拟一系列重复伯努利（两种结果）试验中，获得第一次成功所需的独立试验次数。它常被称为“等待时间分布”，因为我们测量的是为等待第一次成功需要进行多少次试验。

与固定试验次数、统计成功次数的二项分布不同，几何分布反转了这一框架：它固定了每次试验的成功概率，将试验次数作为感兴趣的随机变量。AP统计学统一使用“偏移”约定，即我们从1开始计数试验，这与官方CED定义一致。

2. 几何分布场景的条件 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

在你使用几何分布计算概率或期望值之前，你必须确认场景满足所有四个要求条件，可以缩写为**BITS**：

1. **B**：每次试验有两种可能结果：每次试验的结果要么是“成功”（我们等待的结果），要么是“失败”（另一种结果）。
2. **I**：试验独立：一次试验的结果不会改变其他任何试验的成功概率。
3. **T**：等待第一次成功：试验次数不提前固定；我们测量的值是获得第一次成功所需的试验次数。
4. **S**：成功概率恒定：每次试验的成功概率$p$都相同。

Exam tip: 当被要求为某个场景选择合适的分布时，一定要先回答“我们是统计直到成功的试验次数，还是固定试验中的成功次数？”——这个问题能立刻排除50%的错误选项。

3. 几何概率计算（PMF和CDF） ★★★☆☆ ⏱ 4 min

确认场景满足几何条件后，你可以用两个核心公式计算概率：概率质量函数（PMF）计算第一次成功恰好出现在某一次试验的概率，累积分布函数（CDF）计算第一次成功出现在某一次试验及之前的概率。

要得到第一次成功*恰好*出现在第$k$次试验的概率，说明你前$k-1$次连续失败，然后第$k$次成功。由于试验独立，我们将概率相乘：

P(X = k) = (1-p)^{k-1}p

for $k = 1, 2, 3, ...$

对于累积概率，第一次成功出现在第$k$次试验*及之前*的概率等于1减去前$k$次试验全失败的概率，这给出了一个方便的捷径：

P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k

我们可以整理得到第一次成功出现在第$k$次试验*之后*的概率：

P(X > k) = (1-p)^k

这个捷径能在考试中节省大量时间，你不需要对多个单独概率求和。

Exam tip: 如果题目要求$P(X < k)$，一定要调整截断值得到正确指数：$P(X < k) = P(X \leq k-1) = 1 - (1-p)^{k-1}$，避免选择题中常见的偏移1错误。

4. 几何随机变量的均值和标准差 ★★★☆☆ ⏱ 3 min

几何分布的均值（期望值）和标准差公式简单直观。期望值即获得第一次成功所需试验次数的长期平均值，公式为：

E(X) = \mu_X = \frac{1}{p}

这符合直觉：如果成功概率是1/10，你平均预计要等待10次试验才能得到第一次成功。成功概率越低，期望试验次数越高，这与公式一致。

The variance of $X$ is $\text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$, so the standard deviation (a measure of the spread of the distribution) is:

\sigma_X = \frac{\sqrt{1-p}}{p}

所有几何分布都是右偏的：概率最高的位置始终在$k=1$，概率随$k$增大而减小。在FRQ题中，几乎总是要求你结合背景解释期望值，解释需要将其与多次重复的长期平均值联系起来。

Exam tip: 在FRQ题中解释期望值时，一定要包含“平均而言”和“多次重复”这两个表述，才能拿到解释部分的全部分数。

5. AP风格练习题 ★★★★☆ ⏱ 4 min