二项分布介绍 — AP 统计学
AP 统计学 · 第4单元：概率、随机变量与概率分布 · 14 min read
1. 二项试验与二项随机变量 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
二项分布是AP统计学考试中最常考的离散概率分布，用于描述固定次数独立二元试验中成功次数的分布，每次试验的成功概率保持恒定。
- **B**: 二元结果：每次试验恰好有两种结果（我们统计的结果为成功，另一种结果为失败）
- **I**: 独立试验：一次试验的结果不会影响其他任何试验
- **N**: 固定试验次数：$n$在收集数据前就已确定，不依赖试验结果
- **S**: 成功概率恒定：所有试验的成功概率$p$保持不变
Exam tip: 在AP考试中，验证题要求你明确列出并验证全部四个BINS条件才能拿到满分——漏掉一个条件就会失分。
2. 二项概率的计算 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
确认试验为二项试验后，你可以使用二项概率公式计算恰好得到$k$次成功的概率，该公式结合了组合数（统计所有可能成功序列的数量）和每个序列的概率。
组合数公式用于统计从$n$次总试验中选出$k$次成功位置的方法数：
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}
对于独立试验，$k$次成功和$(n-k)$次失败的每个序列的概率都是$p^k (1-p)^{n-k}$。结合起来就得到二项概率质量函数：
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
对于累积概率（结果范围），对单个概率求和即可：$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^k P(X=i)$。计算至少$k$次成功的概率时，使用补集法则：$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$。
Exam tip: 你可以使用AP批准的计算器直接得到概率，但在自由作答题（FRQ）中，你仍然需要写下代入$n$、$k$、$p$值后的二项概率公式才能拿到满分。
3. 均值、方差和标准差 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
二项随机变量是$n$个独立伯努利试验的和，每个伯努利试验的均值为$p$，方差为$p(1-p)$。由此我们得到了均值、方差和标准差的简洁闭式公式，因此不需要构建完整的概率表。
均值（期望成功次数）为：
\mu_X = E(X) = np
从直观上看，$n$次试验每次成功概率为$p$，平均期望成功次数就是$np$。方差和标准差为：
\sigma_X^2 = Var(X) = np(1-p)
\sigma_X = SD(X) = \sqrt{np(1-p)}
Exam tip: 如果题目要求，一定要结合场景解释期望值：就本例而言，*"如果我们观察多个有115位顾客的营业日，平均每个营业日会有32.2位顾客点植脂奶"*。
4. AP风格练习题 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了几何分布的停止规则和二项分布对固定n的要求。
Why: 学生假设试验总是独立，但不放回抽样会改变每次试验的p。
Why: 学生忘记"至少2次"排除所有小于2的值，而不是排除所有小于等于2的值。
Why: 学生记错哪个数字对应哪个参数。
Why: 学生混淆公式，没有仔细读题。
Quick Reference Cheatsheet