AP Statistics 抽样分布 — 完整学习指南

适用对象：备考 AP Statistics 的中国学生。

本章覆盖：样本均值与样本比例的抽样分布、中心极限定理、推断三条件（Random / 10% / Normal 或 Large Counts）— AP Statistics Unit 5 全部考点。

前置知识：概率与随机变量（Unit 4）、正态分布（Unit 1）。

关于练习题的说明：下文练习题均为我们按 AP Statistics 风格原创的教学题，不是 College Board 真题的复制或仿造。

1. 为什么抽样分布重要

Unit 5 是从概率（Unit 3-4）通向统计推断（Unit 6-9）的桥梁。Unit 6 起的每个置信区间和假设检验都基于该统计量的抽样分布。Unit 5 直接占 AP 分数 7-12%，但概念支撑后面 30%+ 内容。

核心理念：从随机样本中算出的统计量本身就是一个随机变量，它有自己的概率分布，称为抽样分布。知道这分布的形状/中心/分散度，就能说「样本均值偏离总体均值 X 以上的概率很小」。

2. 样本比例 $\hat{p}$ 的抽样分布

从总体真实比例 $p$ 中抽取大小 $n$ 的样本，$\hat{p}$ 服从：

• 均值：${\mu }_{\hat{p}}=p$（无偏）。
• 标准差（标准误）：${\sigma }_{\hat{p}}=\sqrt{p(1-p)/n}$。
• 形状：当 Large Counts 条件成立时近似正态：$np\ge 10$ 且 $n(1-p)\ge 10$。

使用条件：

1. Random：随机抽样。
2. 10% 条件：$n\le 0.10N$（独立性近似成立）。
3. Large Counts：如上。

3. 样本均值 $\bar{x}$ 的抽样分布

从均值 $\mu$、SD $\sigma$ 的总体抽 $n$ 个样本：

• 均值：${\mu }_{\bar{x}}=\mu$。
• 标准差：${\sigma }_{\bar{x}}=\sigma /\sqrt{n}$（按 $\sqrt{n}$ 减小）。
• 形状：总体本身正态 或 $n\ge 30$ 时（中心极限定理）近似正态。

使用条件：

1. Random：随机抽样。
2. 10% 条件：$n\le 0.10N$。
3. Normal 或大 $n$：见上。

4. 中心极限定理（CLT）

任何具有有限均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$ 的总体（不论形状），抽 $n$ 个样本：

$\bar{x}$ 的抽样分布在 $n\to \infty$ 时趋于 Normal($\mu$, $\sigma /\sqrt{n}$)。

经验法则：$n\ge 30$ 对大多数总体已足够。极偏总体可能需要更大 $n$。

CLT 不说：

• 总体本身变正态。
• 单个数据点正态。
• $n$ 很小时 $\bar{x}$ 也正态（除非总体本身正态）。

5. 偏倚与变异性

无偏统计量：均值等于参数（${\mu }_{\bar{x}}=\mu$）。$\bar{x}$ 和 $\hat{p}$ 都无偏。

变异性 = 抽样分布的离散度，由 $n$ 控制（$n$ 大 → 变异小）。要让标准误减半，$n$ 需要增至 4 倍。

好的估计量两者都好：无偏且变异低。又精确又系统偏差（永远偏 5%）和无偏但变异大（平均对但单次估计天差地别）都不好。

6. 差与组合

两独立样本的 ${\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2$： $$\mu =p_1-p_2,\sigma =\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$$

两独立样本的 ${\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2$： $$\mu ={\mu }_1-{\mu }_2,\sigma =\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}$$

方差相加（独立时）；标准差不直接相加。这是双样本推断的基石。

7. 例题精讲

某厂家声称其零件 92% 通过检测。消费者协会随机抽样 $n=200$ 个，发现 175 个通过（$\hat{p}=175/200=0.875$）。如果真实率是 92%，得到样本比例 0.875 或更低的概率是多少？

解答。

1. 条件检查：

   • Random ✓。
   • 10% 条件：$n=200\le 0.10N$，假设厂商生产 ≥ 2000 件，合理。
   • Large Counts：$np=184\ge 10$ ✓；$n(1-p)=16\ge 10$ ✓。

2. 抽样分布：近似正态，$\mu =0.92$、$\sigma =\sqrt{0.92\cdot 0.08/200}=0.01918$。

3. Z 值：$z=(0.875-0.92)/0.01918=-2.347$。

4. 概率：$P(\hat{p}\le 0.875)=P(Z\le -2.347)\approx 0.0095$。

解读：如果声称为真，看到这么低的样本比例的概率仅约 1% — 强证据反对 92% 的声明，真实率很可能低于 92%。

8. 易错点

• 混淆 $\sigma$ 与 ${\sigma }_{\bar{x}}$：总体 SD 是一个，样本均值的 SD 是 $\sigma /\sqrt{n}$，更小。AP 评分常抓这个错。
• 忘记列条件：FRQ 中每次都要列出 Random、10%、Normal/Large Counts 三个条件并检查，缺一扣分。
• CLT 误解：CLT 描述抽样分布，不是总体。总体形状不变。
• 样本量混淆：$n$ 大 → 标准误小，不是总体 SD 小。

9. 练习题（CED 风格）

1. 某总体均值 $\mu =50$、SD $\sigma =12$。$n=36$ 时，求 ${\sigma }_{\bar{x}}$ 与 $P(\bar{x}>53)$。说明使用正态近似的理由。
2. 民调采访 1000 选民，真实支持率为 0.55。求样本比例落在 0.52–0.58 之间的概率。
3. 两独立工厂生产电路板：A 厂 100 块平均 5 缺陷（$n=400$），B 厂 100 块平均 3 缺陷（$n=300$）。求 ${\hat{p}}_A-{\hat{p}}_B$ 的标准误及差异 > 4 个百分点的概率。

10. 速查表

• $\hat{p}$：$\mu =p$、$\sigma =\sqrt{p(1-p)/n}$，$np\ge 10$ 且 $n(1-p)\ge 10$ 时近似正态。
• $\bar{x}$：$\mu =\mu$、$\sigma =\sigma /\sqrt{n}$，总体正态或 $n\ge 30$ 时近似正态。
• 三条件：Random、10%、Normal/Large Counts。每次都要列。
• CLT：任意总体形状下，$\bar{x}$ 在 $n\to \infty$ 时趋于正态。
• 两差：方差相加，${\sigma }_{\text{差}}=\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}$。
• SE 减半：$n$ 加 4 倍。

11. 下一步

抽样分布是 Unit 6（比例推断） 与 Unit 7（均值推断） 的基础 — 置信区间与假设检验直接应用。条件检查要练到自动化。具体 FRQ 场景可问小欧。