AP Statistics 比例推断 — 完整学习指南

适用对象：备考 AP Statistics 的中国学生。

本章覆盖：AP Stats Unit 6 — 一/二样本比例的置信区间、假设检验（1-sample z、2-sample z）、条件检查、I/II 类错误、Power。

前置知识：抽样分布（Unit 5）、概率（Unit 4）。

关于练习题的说明：下文练习题均为我们按 AP Statistics 风格原创的教学题。

1. 为什么比例推断重要

Unit 6 是首个推断unit — 用 Unit 5 的抽样分布从样本得出关于总体的结论。占 AP Stats 12-15%。双样本比例检验是 FRQ 高频场景。

统一逻辑：抽样、算统计量、问「若 $H_0$ 为真，看到这统计量的可能性多大？」— 据此支持或拒绝总体比例的论断。

2. 一比例置信区间

估计未知总体比例 $p$： $$\hat{p}\pm z^{\ast }\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

$\hat{p}$ 样本比例、$n$ 样本量、$z^{\ast }$ 临界值（95% 用 1.96、90% 用 1.645、99% 用 2.576）。

条件（FRQ 中每次都要列并检查）：

1. Random：随机样本。
2. 10% 条件：$n\le 0.10N$。
3. Large Counts：$n\hat{p}\ge 10$ 且 $n(1-\hat{p})\ge 10$。

95% CI 解读：「我们 95% 置信总体真实比例落在 [下,上] 之间。」不能说：「真实 $p$ 落在区间里的概率是 95%。」 — 一旦算出，$p$ 是固定的，区间才是随机的。

3. 一比例假设检验

设置：

• $H_0:p=p_0$（零假设、现状）。
• $H_a:p>p_0$、$p<p_0$ 或 $p\ne p_0$（备择）。
• 显著性水平 $\alpha$（通常 0.05）。

检验统计量（1-sample z）： $$z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$$

注意：标准误用 $p_0$（零值），不是 $\hat{p}$。

条件同 CI 但 Large Counts 用 $p_0$：$n{p}_0\ge 10$ 且 $n(1-p_0)\ge 10$。

P 值：若 $H_0$ 真，看到与 $z$ 同样极端的检验统计量的概率。

• 双侧：$P(|Z|\ge |z|)$。
• 右尾：$P(Z\ge z)$。
• 左尾：$P(Z\le z)$。

决策：$p\text{-value}<\alpha$ 拒绝 $H_0$；否则不拒绝。

结论联系背景：「我们在 5% 水平上有/无证据 [背景] 的真实比例不同于 [声称]。」

4. 双样本比例推断

估计差 $p_1-p_2$（CI）： $$({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2)\pm z^{\ast }\sqrt{\frac{{\hat{p}}_1(1-{\hat{p}}_1)}{n_1}+\frac{{\hat{p}}_2(1-{\hat{p}}_2)}{n_2}}$$

条件：每样本随机、互独立、$n_i\le 0.10N_i$、双方 Large Counts。

假设检验：$H_0:p_1=p_2$（等价 $p_1-p_2=0$）。 $$z=\frac{({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2)-0}{\sqrt{{\hat{p}}_c(1-{\hat{p}}_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$$

合并比例 ${\hat{p}}_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$。$H_0$ 下两总体同比例，合并数据估计更好。

5. I 类与 II 类错误

Power = 正确拒绝假 $H_0$ 的概率。增大办法：

• 加大样本量 $n$。
• 真实效应越强（真 $p$ 离 $p_0$ 越远）。
• 提高 $\alpha$（但 I 类风险增）。

6. 例题精讲

某医学研究称 60% 患者对新药有反应。200 人试验中 105 人反应。在 5% 水平检验真实反应率是否低于 60%。

解答。

步 1：假设。 $H_0:p=0.60$、$H_a:p<0.60$、$\alpha =0.05$。

步 2：检查条件。

• Random ✓（研究设计假设）。
• 10% 条件：200 ≤ 0.10 × 总体（这种患者总数远超 2000）。
• Large Counts：$n{p}_0=120\ge 10$ ✓；$n(1-p_0)=80\ge 10$ ✓。

步 3：计算。 $\hat{p}=105/200=0.525$。 SE = $\sqrt{0.60\cdot 0.40/200}=0.0346$。 $z=(0.525-0.60)/0.0346=-2.165$。

步 4：p 值。左尾：$P(Z\le -2.165)\approx 0.0152$。

步 5：决策。$p$ 值 0.0152 < $\alpha$ 0.05 → 拒绝 $H_0$。

步 6：结论。在 5% 水平上有证据真实反应率低于 60%。

7. 易错点

• CI 与检验的 SE 不同：CI 用 $\hat{p}$；单样本检验用 $p_0$；双样本检验用合并 ${\hat{p}}_c$。
• 统计量符号 vs 备择方向：例中 $z=-2.165$、$H_a:p<0.60$ → 左尾。不要错算成双尾或右尾。
• 「接受 $H_0$」：永远不说这个。要么「拒绝 $H_0$」要么「不拒绝 $H_0$」。不拒绝不证明 $H_0$。
• 随机抽样 vs 随机分配：随机抽样推断总体（推断）；随机分配推断因果。AP 题会指明用哪个。
• FRQ 条件：必须列出并检查，缺一不可。

8. 练习题（CED 风格）

1. 1500 选民调查，825 支持候选人 A。构造支持率的 95% CI 并联系背景解读。
2. 工厂声称残品率最多 2%。500 件抽样有 15 件残品。在 $\alpha =0.05$ 下检验声明。
3. 临床试验中治疗组 200 人 40 人康复、对照组 200 人 30 人康复。在 $\alpha =0.05$ 下检验治疗是否更有效。

9. 速查表

• 1-样本 CI for $p$：$\hat{p}\pm z^{\ast }\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$。
• 1-样本检验 for $p$：$z=(\hat{p}-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$。
• 2-样本 CI for $p_1-p_2$：$({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2)\pm z^{\ast }\sqrt{{\hat{p}}_1(1-{\hat{p}}_1)/n_1+{\hat{p}}_2(1-{\hat{p}}_2)/n_2}$。
• 2-样本检验 for $p_1=p_2$：$z=({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2)/\sqrt{{\hat{p}}_c(1-{\hat{p}}_c)(1/n_1+1/n_2)}$。
• 条件：Random / 10% / Large Counts（每方向 ≥10）。
• $z^{\ast }$ for CI：90%→1.645；95%→1.96；99%→2.576。
• I 类 = 错拒绝。II 类 = 错不拒绝。

10. 下一步

比例推断是 Unit 7（均值推断） 的原型 — 同逻辑但用 t 分布（样本 $\sigma$ 替总体）。Unit 8（卡方） 推广到多类。具体检验设置可问小欧。