AP 预备微积分 向量 — AP 预备微积分

1. 核心向量定义 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

向量是同时具有大小（模长）和方向的数学量，与之不同，标量仅具有大小。AP预备微积分考试中常见的例子包括位移、速度和力。向量占AP预备微积分考试总分的3-4%，会同时出现在选择题和自由作答题部分。

2. 分量、模长和方向 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

任意平面向量都可以分解为水平（$x$）和垂直（$y$）分量，分别对应沿两个坐标轴的位移。对于起点为$P(x_1,y_1)$、终点为$Q(x_2,y_2)$的向量，分量形式通过终点坐标减去起点坐标计算得到：

\vec{v} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1 \rangle

对于$\vec{v} = \langle a, b \rangle$，其模长（长度）由勾股定理可得：

|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}

方向用标准位置角$\theta$表示，即从正$x$轴逆时针测量的角度。从分量求$\theta$：$\tan\theta = \frac{b}{a}$，因此$\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$加上象限修正：第二/三象限加$180^\circ$（或$\pi$弧度），第四象限的负角度加$360^\circ$。如果已知模长$r=|\vec{v}|$和方向$\theta$，分量为$a = r\cos\theta, b = r\sin\theta$。

Exam tip: 在给出方向角之前，一定要在坐标网格上快速画出向量，避免象限修正错误。

3. 向量加法和标量乘法 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

向量加法由两个输入向量得到一个合向量。代数上，分量形式的向量加法始终是按分量进行的：

\vec{u} + \vec{v} = \langle u_1 + v_1, u_2 + v_2 \rangle

标量乘法将向量乘以实标量$k$，缩放其模长，若$k$为负则反转方向。该运算同样按分量进行：

k\vec{u} = \langle k u_1, k u_2 \rangle

单位向量是模长为1的向量，仅用于表示方向。要得到非零$\vec{v}$方向上的单位向量，将其除以模长：$\hat{v} = \frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}$。标准单位向量是$\hat{i} = \langle 1, 0 \rangle$和$\hat{j} = \langle 0, 1 \rangle$，因此任意向量$\langle a, b \rangle$都可以写成$a\hat{i} + b\hat{j}$。

Exam tip: 将标量倍数的减法改写为负标量倍数的加法，例如 $2\vec{u} - 3\vec{v} = 2\vec{u} + (-3)\vec{v}$，可以避免分配时的符号错误。

4. 点积和向量投影 ★★★★☆ ⏱ 4 min

点积（也称为标量积）是接收两个向量输入、返回一个标量（不是向量）的运算。对于$\vec{u} = \langle u_1, u_2 \rangle$ 和 $\vec{v} = \langle v_1, v_2 \rangle$：

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2

点积与两个向量之间的夹角$\theta$（介于 $0^\circ$ 和 $180^\circ$ 之间）满足恒等式：

\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta

AP考试中两个核心用途是：1) 检验正交性（垂直性）：当且仅当两个向量的点积为零时，它们正交；2) 求一个向量在另一个向量上的投影，也就是$\vec{u}$在包含$\vec{v}$的直线上的投影。$\vec{u}$在$\vec{v}$上的向量投影公式为：

\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}\right)\vec{v}

Exam tip: 记住向量投影的分母是$|\vec{v}|^2$，标量投影的分母是$|\vec{v}|$。解题前先写下两个公式，避免混淆。

5. AP风格概念检验 ★★★☆☆ ⏱ 3 min