向量值函数

AP 预备微积分· AP Precalculus CED — 含参数、向量与矩阵的函数· 14 分钟阅读

1. 向量值函数的定义★☆☆☆☆⏱ 3 min

向量值函数（常简称为向量函数）输入单个标量（AP预备微积分题目中最常见的输入是时间 $t$ ），输出一个向量。在AP预备微积分中，我们几乎只研究二维向量值函数。

📘 定义

二维向量值函数

$r (t) = ⟨ x (t), y (t)⟩$

输入为标量 $t$ 、输出为二维向量的函数，其中 $x (t)$ 和 $y (t)$ 是标量分量函数。当 $t$ 表示时间时， $r (t)$ 称为运动物体的位置函数。

例:

$r (t) = ⟨ t^{2}, 2 t + 1 ⟩$ 的分量为 $x (t) = t^{2}$ ， $y (t) = 2 t + 1$

注意 Unit 4 不在 AP 预备微积分考试范围内——CED 明确考试只覆盖 Unit 1–3——本内容属教师自选／延伸内容。它整合了你之前学过的参数方程和向量知识来建模运动。

2. 位置、分量、模长与方向★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

位置矢量 $r (t) = ⟨ x (t), y (t)⟩$ 从原点指向物体在参数 $t$ 处的位置 $(x (t), y (t))$ 。分量 $x (t)$ 给出水平位置， $y (t)$ 给出竖直位置。

📘 定义

位置矢量的模长

$∣ r (t) ∣ = x (t)^{2} + y (t)^{2}$

位置矢量的模长就是从原点到参数 $t$ 处点 $(x (t), y (t))$ 的距离。

例:

若 $r (2) = ⟨ 6, 8 ⟩$ ，则 $∣ r (2) ∣ = 6^{2} + 8^{2} = 10$ ，即物体距原点 $10$ 个单位。

位置矢量的方向是它与正 $x$ 轴所成的角 $θ = arctan (\frac{y}{x})$ （需按所在象限调整）。当 $t$ 变化时，模长（到原点的距离）和方向都可能改变。

📐 例题

一架无人机的位置（单位：米）为 $r (t) = ⟨ 3 t, 4 t ⟩$ ， $t \geq 0$ 。求 $t = 2$ 时它到原点的距离以及位置矢量的方向。

1
在 $t = 2$ 处求位置：
$\mathbf{r}(2) = \langle 3(2), 4(2) \rangle = \langle 6, 8 \rangle$
2
模长 = 到原点的距离：
$|\mathbf{r}(2)| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ m}$
3
方向（与正 $x$ 轴的夹角）：
$\theta = \arctan\left(\frac{8}{6}\right) = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ$

Exam tip:

模长 $∣ r (t) ∣$ 始终是到原点的距离——用勾股形式 $x^{2} + y^{2}$ ，绝不是 $x + y$ 。

3. 平均变化率与平面运动★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

要描述物体位置在时间区间 $[t_{1}, t_{2}]$ 上如何变化，就用每个分量的平均变化率——即直接由端点算出的割线斜率。

📘 定义

平均速度分量（平均变化率）

$\frac{Δ x}{Δ t} = \frac{x ( t _{2} ) - x ( t _{1} )}{t _{2} - t _{1}}, \frac{Δ y}{Δ t} = \frac{y ( t _{2} ) - y ( t _{1} )}{t _{2} - t _{1}}$

$x$ 在 $[t_{1}, t_{2}]$ 上的平均变化率是平均水平速度， $y$ 的平均变化率是平均竖直速度。两者合起来构成平均速度矢量 $⟨ \frac{Δ x}{Δ t}, \frac{Δ y}{Δ t} ⟩$ 。

例:

净位移的平均速率就是平均速度矢量的模长 $⟨ \frac{Δ x}{Δ t}, \frac{Δ y}{Δ t} ⟩$ 。

平均变化率的符号给出净方向： $Δ x /Δ t > 0$ 表示区间上净向右运动， $Δ y /Δ t > 0$ 表示净向上运动。

📐 例题

一架无人机的位置（单位：米）为 $r (t) = ⟨ 3 t, - 0.1 t^{2} + 4 t ⟩$ ， $0 \leq t \leq 10$ 。求在区间 $[0, 10]$ 上的平均速度矢量和平均速率。

1
在端点处求位置：
$\mathbf{r}(0) = \langle 0, 0 \rangle, \quad \mathbf{r}(10) = \langle 30, 30 \rangle$
2
每个分量在 $[0, 10]$ 上的平均变化率：
$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{30 - 0}{10} = 3, \quad \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{30 - 0}{10} = 3 \text{ (m/s)}$
3
平均速度矢量：
$\left\langle 3, 3 \right\rangle \text{ m/s}$
4
平均速率 = 平均速度矢量的模长：
$\sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2} \approx 4.24 \text{ m/s}$
5
两个分量都为正，所以在 $[0, 10]$ 上净运动方向是向右且向上。

Exam tip:

平均变化率是在区间上度量的，不是在某个瞬间。在两个端点处求出位置，相减，再除以 $Δ t = t_{2} - t_{1}$ 。

4. 向量值函数与参数曲线★★☆☆☆⏱ 3 min

任意二维向量值函数 $r (t) = ⟨ x (t), y (t)⟩$ 都对应xy平面上的一条参数曲线， $r (t)$ 是从原点到曲线上点 $(x (t), y (t))$ 的位置向量。要转换为直角坐标方程（不含 $t$ 的x、y方程），可以用普通参数方程消参的相同方法消去参数 $t$ 。

必须注意原函数中 $t$ 的范围限制，因为这些限制会对应为直角坐标曲线的定义域/值域限制。 $t$ 受限只会得到完整隐曲线的一部分。

📐 例题

已知 $0 \leq t \leq 2 π$ 时曲线由 $r (t) = ⟨ 2 cos t, 3 sin t ⟩$ 定义，求曲线的直角坐标方程，并判断曲线类型。

1
令 $x = 2 cos t$ ， $y = 3 sin t$ ，整理后分离出三角函数项：
2
$\cos t = \frac{x}{2}, \quad \sin t = \frac{y}{3}$
3
利用勾股恒等式 $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ 代入：
4
$\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{3}\right)^2 = 1$
5
化简并确认范围：由于 $t$ 从 $0$ 取到 $2 π$ ，因此 $x \in [- 2, 2]$ ， $y \in [- 3, 3]$ ，这是完整的椭圆：
6
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题检验你的理解：

一个物体的位置为 $r (t) = ⟨ t^{2}, 4 t ⟩$ （米， $t$ 单位为秒）。它在区间 $[0, 2]$ 上的平均速度矢量是多少？
- A) $⟨ 2, 4 ⟩$
- B) $⟨ 4, 8 ⟩$
- C) $⟨ 2, 2 ⟩$
- D) $⟨ 1, 4 ⟩$
显示答案
A —
每个分量的平均变化率： $\frac{Δ x}{Δ t} = \frac{4 - 0}{2} = 2$ ， $\frac{Δ y}{Δ t} = \frac{8 - 0}{2} = 4$ ，所以平均速度矢量是 $⟨ 2, 4 ⟩$ 。

Exam tip:

如果参数 $t$ 有范围限制，一定要在直角坐标方程旁写出 $x$ （必要时还有 $y$ ）的定义域限制；AP选择题经常把无限制的完整曲线作为干扰项。

5. 常见陷阱

错误做法:

计算平均变化率时只算 $x (t_{2}) - x (t_{1})$ ，忘记除以 $Δ t$ 。

原因:

你记住了位置的变化量，却忘了变化率要把这个变化量除以 $t$ 的变化量。

正确做法:

务必除以 $Δ t = t_{2} - t_{1}$ ，才能得到分量的平均变化率。

错误做法:

用 $y$ 的平均变化率描述水平运动（或用 $x$ 的描述竖直运动）。

原因:

你弄混了哪个分量对应哪个方向。

正确做法:

水平运动来自 $Δ x /Δ t$ ，竖直运动来自 $Δ y /Δ t$ ；解释方向前先给每个标好。

错误做法:

题目要求平均速率时，你输出了平均速度矢量而不是它的模长。

原因:

你混淆了平均速度（矢量）和平均速率（它的标量模长）。

正确做法:

平均速率是 $∣ ⟨ Δ x /Δ t, Δ y /Δ t ⟩ ∣$ ；求出平均速度矢量后再计算模长。

错误做法:

对于 $r (t) = ⟨ e^{t}, e^{2 t} + 1 ⟩$ ，你把直角坐标方程写成完整抛物线 $y = x^{2} + 1$ 。

原因:

你忘记了 $e^{t} = x$ 恒为正，因此原函数要求 $x > 0$ 。

正确做法:

消去参数后，一定要加上原 $t$ 定义域隐含的定义域限制。

错误做法:

你把模长算成 $∣ ⟨ a, b ⟩ ∣ = a + b$ ，而没有用勾股定理。

原因:

做完其他按分量运算后，你混淆了分量加法和向量模长。

正确做法:

无论分量是什么，模长都要用 $∣ ⟨ a, b ⟩ ∣ = a^{2} + b^{2}$ 计算。

6. 速查表

类别	公式/规则	注释
二维向量值函数	$r (t) = ⟨ x (t), y (t)⟩$	输入为标量 $t$ （通常是时间）； $x (t), y (t)$ 是标量分量
模长（到原点的距离）	$∣ r (t) ∣ = x (t)^{2} + y (t)^{2}$	参数 $t$ 处点到原点的距离
平均速度分量（水平）	$\frac{Δ x}{Δ t} = \frac{x ( t _{2} ) - x ( t _{1} )}{t _{2} - t _{1}}$	$x$ 在 $[t_{1}, t_{2}]$ 上的平均变化率
平均速度分量（竖直）	$\frac{Δ y}{Δ t} = \frac{y ( t _{2} ) - y ( t _{1} )}{t _{2} - t _{1}}$	$y$ 在 $[t_{1}, t_{2}]$ 上的平均变化率
平均速率（净位移）	$⟨ \frac{Δ x}{Δ t}, \frac{Δ y}{Δ t} ⟩ = (\frac{Δ x}{Δ t})^{2} + (\frac{Δ y}{Δ t})^{2}$	平均速度的非负标量模长
由向量函数得直角坐标方程	从 $x = x (t), y = y (t)$ 中消去 $t$	加上原 $t$ 定义域带来的定义域限制

深入阅读

Official SyllabusAP Precalculus CED官方课程要求

下一步

本内容是向量运动建模的基础，在第四单元剩余内容学习向量的矩阵变换和参数运动时，你会进一步拓展这部分知识。掌握位置矢量的模长与方向，以及各分量的平均变化率，就能分析变换后的参数曲线并解决平面运动问题。本内容还在参数方程和向量之间搭建了桥梁，为你在AP微积分AB/BC中的学习做准备，在那里将用微积分工具研究沿曲线的运动。