向量值函数 — AP 预备微积分
AP 预备微积分 · 含参数、向量与矩阵的函数 · 14 min read
1. 向量值函数的定义 ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min
向量值函数（常简称为向量函数）输入单个标量（AP预备微积分题目中最常见的输入是时间$t$），输出一个向量。在AP预备微积分中，我们几乎只研究二维向量值函数。
本内容占AP预备微积分考试总分的1-2%左右，会出现在选择题和自由作答题部分。最常见的考点是运动建模，它整合了你之前学过的参数方程和单变量微积分知识。
2. 向量值函数的极限与连续性 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
AP预备微积分中，向量值函数的所有运算都按分量进行：我们对每个分量分别应用单变量函数的相同规则。对于极限，规则如下：
lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \left\langle \lim_{t \to a} x(t), \lim_{t \to a} y(t) \right\rangle
连续性的定义与单变量函数相同：当且仅当$\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)$时，$\mathbf{r}(t)$在$t=a$处连续。这意味着两个分量都必须在$a$处连续，且$\mathbf{r}(a)$必须有定义。
Exam tip: 在判定向量极限存在前，一定要先确认两个分量的极限都存在；只要有一个分量不存在极限，整个向量的极限就不存在。
3. 导数、速度矢量与速率 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
向量值函数导数的定义与单变量函数导数完全相同，都是差商的极限，可简化为按分量求导：
\mathbf{r}'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{r}(t + \Delta t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t} = \langle x'(t), y'(t) \rangle
几何意义上，$\mathbf{r}'(t)$是参数曲线在参数$t$处的切向量，指向$t$增大的方向。物理意义上，当$\mathbf{r}(t)$是运动物体的位置函数时：
- $\mathbf{r}'(t)$ = 速度矢量（同时包含方向和大小的矢量）
- $|\mathbf{r}'(t)|$ = 速率（非负标量，即速度矢量的大小）
- $\mathbf{r}''(t)$ = 加速度矢量（速度矢量的导数）
Exam tip: 一定要看清题目问的是速度矢量还是速率：速度矢量是矢量，速率是标量（速度矢量的大小）。AP考试经常考查这个术语区分，所以开始解题前先圈出关键词。
4. 向量值函数与参数曲线 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
任意二维向量值函数$\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$都对应xy平面上的一条参数曲线，$\mathbf{r}(t)$是从原点到曲线上点$(x(t), y(t))$的位置向量。要转换为直角坐标方程（不含$t$的x、y方程），可以用普通参数方程消参的相同方法消去参数$t$。
必须注意原函数中$t$的范围限制，因为这些限制会对应为直角坐标曲线的定义域/值域限制。$t$受限只会得到完整隐曲线的一部分。
Exam tip: 如果参数$t$有范围限制，一定要在直角坐标方程旁写出$x$（必要时还有$y$）的定义域限制；AP选择题经常把无限制的完整曲线作为干扰项。
Common Pitfalls
Why: 你混淆了极限存在与连续性的要求：连续性要求极限等于函数在$t=a$处的函数值。
Why: 你习惯了按分量求导后，就跳过了复合函数的检查。
Why: 你混淆了速度矢量（矢量）和速率（标量）的定义。
Why: 你忘记了$e^t = x$恒为正，因此原函数要求$x > 0$。
Why: 做完其他按分量运算后，你混淆了分量加法和向量模长。
Quick Reference Cheatsheet