线性变换与矩阵 — AP 微积分预修
1. 定义与矩阵表示 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
根据线性性，任何输入向量都可以写成标准基向量$\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$的线性组合，因此：
T\left(\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}\right) = xT\left(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\right) + yT\left(\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}\right)
这意味着变换对标准基向量的输出就构成了变换矩阵的**列**。对于$T(x,y) = (T_x(x,y), T_y(x,y))$，变换矩阵为：
A = \begin{bmatrix} T_x(1,0) & T_x(0,1) \\ T_y(1,0) & T_y(0,1) \end{bmatrix}
Exam tip: 考试中永远先测试零向量，快速排除非线性变换。
2. 复合变换与矩阵乘法 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
依次应用两个线性变换（先$T_1$，后$T_2$）时，复合变换$T_2 \circ T_1 = T_2(T_1(\vec{v}))$也是线性变换。如果$T_1$对应的矩阵是$A_1$，$T_2$对应的矩阵是$A_2$，根据矩阵乘法的结合律，复合变换对应的矩阵就是乘积$A_2 A_1$。
对于两个二阶矩阵，乘积$BA$由$B$的每一行与$A$的每一列做点积计算得到：
B = \begin{bmatrix}e & f \\ g & h\end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}, \quad BA = \begin{bmatrix}ea + fc & eb + fd \\ ga + hc & gb + hd\end{bmatrix}
Exam tip: 相乘前一定要明确写出变换顺序，避免顺序错误。
3. 逆变换与行列式 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
线性变换可逆当且仅当它是双射（一一对应），即每个输出向量都对应唯一的输入向量。对于二阶矩阵$A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$，可逆性由行列式$\det(A) = ad - bc$决定：如果$\det(A) \neq 0$，则$A$可逆；如果$\det(A) = 0$，变换不可逆。
逆矩阵$A^{-1}$对应抵消原变换$T$的逆变换，满足$AA^{-1} = A^{-1}A = I$，其中$I = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$是单位矩阵。二阶矩阵的逆矩阵公式为：
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}
Exam tip: 熟记标准几何变换矩阵（旋转、反射、位似）可以在考试中节省时间。
4. AP风格概念检测 ★★★☆☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆函数复合记号：$f \circ g = f(g(x))$，先应用的函数是内层函数，因此在矩阵形式中位于右侧。
Why: 学生记得交换$a$和$d$，翻转$b$和$c$的符号，但遗漏了$1/\det(A)$这个缩放因子。
Why: 平移是仿射变换，看起来像线性变换，但不满足线性性质。
Why: 学生混淆了矩阵表示的标准约定。
Why: 学生混淆了旋转方向。