隐式定义函数 — AP 微积分预备课程
1. 什么是隐式定义函数？ ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min
显式定义函数将因变量（通常为$y$）直接表示为自变量（通常为$x$）的函数，形式为$y = f(x)$，这是你在本课程大部分内容中使用的标准形式。隐式定义函数是用方程$F(x,y) = 0$表示的$x$与$y$之间的关系，即使我们无法用初等函数解出$y$关于$x$的表达式，仍可将$y$视为$x$的函数。
2. 利用链式法则进行隐函数求导 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
处理隐函数的核心技能是隐函数求导，它可以让你不用显式解出$y$就能得到$\frac{dy}{dx}$。核心思路是：$y$是$x$的函数，因此任何含$y$的项都是$x$的复合函数，对$x$求导时需要使用链式法则。
\frac{d}{dx}\left[y^n\right] = n y^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx}
仅含$x$的项的求导方法和显式函数相同，和平时一样。对隐方程两边对$x$求导后，整理项解出$\frac{dy}{dx}$即可，结果通常是同时含$x$和$y$的表达式，这是正常且可接受的。
Exam tip: 对任意含$y$的项求导时，一定要保留$\frac{dy}{dx}$因子——如果你忘记了，最终得到的斜率一定是错的。
3. 计算隐曲线上给定点处的$\frac{dy}{dx}$ ★★★☆☆ ⏱ 3 min
大多数AP微积分预备课程题目不要求$\frac{dy}{dx}$的一般形式，而是要求隐曲线上给定点处切线的斜率。得到$x$和$y$表示的$\frac{dy}{dx}$一般式后，你只需要直接将给定点$(x_0, y_0)$的坐标代入表达式即可。大多数学生都会跳过一个关键的预备步骤：验证给定点确实在曲线上。
Exam tip: 代入点坐标前先化简一般导式可以减少计算错误——提前约去公共常数能降低计算出错的概率。
4. 求隐曲线的切线方程 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
这个考点最常见的自由作答题要求隐曲线给定点处完整的切线方程，它结合了隐函数求导得到斜率和你之前学过的点斜式两个技能。除非题目另有说明，AP考试通常接受点斜式或斜截式。
Exam tip: 如果题目要求切线方程，代入导数时一定要检查不要弄混$x$和$y$——交换坐标会得到错误的斜率。
5. AP风格概念检验 ★★★★☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 学生习惯了只对含$x$的项求导，因此会不自觉地把$y$当作常数，而不是$x$的函数。
Why: 学生记得给$y$项加上$\frac{dy}{dx}$，但忘记$x$项也需要求导。
Why: 学生不习惯处理同时含$x$和$y$的表达式，因此即使没必要也要强行解出$y$。
Why: 学生认为导数只能用$x$表示，因此不必要地代入消去$y$。
Why: 学生默认给出的点一定在曲线上，跳过了验证步骤。