隐式定义函数

AP 预备微积分· AP Precalculus CED — Functions Involving Parameters, Vectors, and Matrices· 14 分钟阅读

1. 显式函数与二元方程★☆☆☆☆⏱ 3 min

本课程的大部分内容你处理的都是显式定义函数，写作 $y = f (x)$ ：输出 $y$ 由作用在输入 $x$ 上的规则直接给出，且每个输入恰好对应一个输出。但许多重要曲线来自一个只是把 $x$ 与 $y$ 联系起来的方程，例如 $x^{2} + y^{2} = 25$ 。这样的方程是一个关系：它的图像是使方程成立的所有有序对 $(x, y)$ 组成的集合。它不写成 $y = f (x)$ 的形式，本身也未必是一个函数。

📘 定义

隐式定义函数

$x^{2} + y^{2} = 25$

含两个变量的方程可以隐式地描述一个或多个函数。即使方程没有解出 $y$ ，对其中一个变量求解也会得到若干函数，这些函数的图像构成方程图像的一部分或全部。

例:

$x^{2} + y^{2} = 25$ 隐式描述了两个函数 $y = 25 - x^{2}$ （圆的上半部分）和 $y = - 25 - x^{2}$ （下半部分）。

2. 画二元方程的图像★★☆☆☆⏱ 3 min

画二元方程的图像和画任何函数一样：找出解并描点。一个解就是满足方程的有序对 $(x, y)$ 。选一个输入值，代入，解出对应的一个或多个输出值，标出每个得到的点。图像就是所有这些点的集合。

📐 例题

通过列解的表格画出圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 。

1
先把方程解出 $y$ ，这样就能由输入算出输出：
$y = \pm\sqrt{25 - x^2}$
2
取从 $- 5$ 到 $5$ 的输入，求出每个对应的输出。每个满足 $∣ x ∣ < 5$ 的输入都给出两个输出：
$x=0 \Rightarrow y=\pm 5,\quad x=\pm 3 \Rightarrow y=\pm 4,\quad x=\pm 4 \Rightarrow y=\pm 3,\quad x=\pm 5 \Rightarrow y=0$
3
描出每一个点——例如 $(0, 5), (0, - 5), (3, 4), (3, - 4), (4, 3), (4, - 3), (5, 0), (- 5, 0)$ 。把它们连起来就画出以原点为圆心、半径为 $5$ 的圆。

Exam tip:

当你把方程解出 $y$ 并出现平方根时，要保留 $\pm$ ：这时大多数输入会给出两个输出，因此上下两个点都要描出来。

3. 竖线检验：整个图像是函数吗？★★☆☆☆⏱ 3 min

只有当每条竖线与图像至多相交一次、从而每个输入只对应一个输出时，图像才表示 $y$ 是 $x$ 的函数。整个圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 通不过这个检验：竖线 $x = 3$ 同时与它相交于 $(3, 4)$ 和 $(3, - 4)$ ，一个输入对应了两个输出。因此整体来看，这个圆不是 $x$ 的函数——它是把若干函数打包在一起的关系。

不是 $x$ 的函数： 圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 、椭圆 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 、横放的抛物线 $x = y^{2}$ 以及双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 都通不过竖线检验。
本身已是 $x$ 的函数： 像 $x^{3} + y = 1$ 这样的方程可以解出唯一的规则 $y = 1 - x^{3}$ ，因此它的整个图像都能通过竖线检验。
关系仍可能是 $y$ 的函数： 横放的抛物线 $x = y^{2}$ 不是 $x$ 的函数，但每个输入 $y$ 恰好给出一个输出 $x$ ，因此它是 $y$ 的函数。

Exam tip:

要说明一个图像不是 $x$ 的函数，你只需找到一条与它相交超过一次的竖线——一个反例就够了。

4. 把关系拆成若干函数部分★★★☆☆⏱ 4 min

要从一个通不过竖线检验的方程中提取出真正的函数，就对某个变量求解。结果的每一个分支——平方根的每一个符号，或每一段受限部分——都是一个函数，它的图像是整个图像的一部分。把这些部分并排放在一起，就重建了完整的图像。

📐 例题

把椭圆 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 拆成若干函数部分，并求它上面 $x = 2$ 处的点。

1
把方程解出 $y$ ：
$\frac{y^2}{9}=1-\frac{x^2}{16} \;\Rightarrow\; y=\pm 3\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}$
2
读出两个部分： $+$ 号给出上半部分 $y = 3 1 - \frac{x ^{2}}{16}$ ， $-$ 号给出下半部分 $y = - 3 1 - \frac{x ^{2}}{16}$ 。每一部分都是定义域为 $- 4 \leq x \leq 4$ 的函数。
3
把输入 $x = 2$ 代入每个部分：
$y=\pm 3\sqrt{1-\frac{4}{16}}=\pm 3\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\pm\frac{3\sqrt{3}}{2}$
4
因此输入 $x = 2$ 在椭圆上对应上半部分的点 $(2, \frac{3 3}{2})$ 和下半部分的点 $(2, - \frac{3 3}{2})$ 。

📐 例题

关系 $x = y^{2}$ 不是 $x$ 的函数。把它拆成 $x$ 的函数部分。

1
解出 $y$ ：
$y=\pm\sqrt{x}$
2
上半部分 $y = x$ 和下半部分 $y = - x$ 各自都是定义域为 $x \geq 0$ 的 $x$ 的函数；它们合起来构成整条横放的抛物线。
3
对于输入 $x = 9$ ，两个部分给出 $y = 3$ 和 $y = - 3$ ，即点 $(9, 3)$ 和 $(9, - 3)$ 。

Exam tip:

平方根后的每一个正负号选择都是一个单独的函数部分。在选号之前，先想清楚你要的是哪一部分（上或下、右或左）。

5. 两个量如何一起变化★★★☆☆⏱ 4 min

即使不解出 $y$ ，你也可以通过比较图像上两个靠得很近的有序对，来描述隐式定义图像上两个量如何一起变化。观察这两个变量变化量的比值——从一个点到下一个点的平均变化率。如果这个比值为正，两个变量就一起增大或一起减小；如果为负，则一个增大而另一个减小。

📐 例题

在圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上，描述沿从 $(0, 5)$ 到 $(5, 0)$ 这段弧上 $x$ 和 $y$ 如何一起变化。

1
列出这段弧上的几个解点：
$(0,5),\;(3,4),\;(4,3),\;(5,0)$
2
当输入 $x$ 增大 $0 \to 3 \to 4 \to 5$ 时，输出 $y$ 减小 $5 \to 4 \to 3 \to 0$ 。一个上升而另一个下降，所以在这段弧上两个量朝相反方向变化。
3
用 $(0, 5)$ 与 $(3, 4)$ 之间变化量的比值来验证：
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4-5}{3-0}=-\frac{1}{3}<0$
4
这个负比值确认了在这一部分上， $x$ 增大时 $y$ 减小。

图像的走向会出现「平缓」的地方。当输出 $y$ 随 $x$ 变化而暂时不变时—— $y$ 关于 $x$ 的平均变化率为零——图像沿水平方向延伸；在圆上，这发生在顶部 $(0, 5)$ 和底部 $(0, - 5)$ 。反过来，当输入 $x$ 随 $y$ 变化而暂时不变时，图像沿竖直方向延伸；在圆上，这发生在最右端 $(5, 0)$ 和最左端 $(- 5, 0)$ 。

✓ 快速检测

用这道AP风格题测试你对隐式定义函数的理解：

在 $x^{2} + y^{2} = 25$ 的图像上，哪个点位于下半部分函数 $y = - 25 - x^{2}$ 上？
- $(3, 4)$
- $(4, 3)$
- $(3, - 4)$
- $(0, 5)$
显示答案
$(3,-4)$ —
正确：下半部分取 $-$ 号，因此它的输出为负。代入 $x = 3$ 得 $y = - 25 - 9 = - 4$ ，即点 $(3, - 4)$ 。

Exam tip:

从两个相邻的点读出「一起变化」：比较 $y$ 的变化与 $x$ 的变化。同号表示它们同向变化；异号表示一个上升时另一个下降。

6. 常见陷阱

错误做法:

默认每个含 $x$ 和 $y$ 的方程都是函数，不加检验就写成 $y = f (x)$ 。

原因:

学生习惯了前面单元的函数，预期每个输入只有一个输出。

正确做法:

先做竖线检验；如果有一条竖线能与图像相交两次，那么整个方程就是一个关系，而不是单一的 $x$ 的函数。

错误做法:

解出 $y$ 后丢掉 $\pm$ ，例如把 $y = 25 - x^{2}$ 当成整个圆。

原因:

平方根键只给出主（非负）根，因此学生只保留了上半部分。

正确做法:

两个符号都要保留： $y = + 25 - x^{2}$ 是上半部分， $y = - 25 - x^{2}$ 是下半部分；它们合起来才是完整图像。

错误做法:

忘记某个部分的定义域，例如把 $x = 6$ 代入半径为 $5$ 的圆的 $y = \pm 25 - x^{2}$ 。

原因:

学生把这个部分当成能接受任何输入的多项式。

正确做法:

只有当根号下的表达式非负时该部分才有定义；对 $y = \pm 25 - x^{2}$ 而言即 $- 5 \leq x \leq 5$ 。

错误做法:

一旦某个关系通不过竖线检验，就断定它在任何意义上都「不是函数」。

原因:

学生一听到「不是函数」就停下，忽略了它仍可能是另一个变量的函数，或可以拆成若干部分。

正确做法:

准确说明是什么通不过：整个图像不是 $x$ 的函数，但它可能是 $y$ 的函数，而且它总能拆成若干函数部分。

错误做法:

在圆这类图像上弄混哪些点沿水平方向、哪些点沿竖直方向延伸。

原因:

学生死记「上下」与「两侧」，却没有把它们与哪个量停止变化联系起来。

正确做法:

图像在 $y$ 暂时停止变化处沿水平方向延伸（圆的顶部和底部），在 $x$ 暂时停止变化处沿竖直方向延伸（圆的左端和右端）。

7. 速查表

概念	想法/公式	说明
显式函数	$y = f (x)$	一个规则，每个输入一个输出；贯穿整个课程
二元方程（关系）	如 $x^{2} + y^{2} = 25$	图像是满足它的所有 $(x, y)$ ；未必是函数
通过求解画图	找出解点并描点	选输入，解出输出，标出每个点
竖线检验	每条竖线与图像至多相交 $1$ 次	若某条竖线与它相交两次，则不是 $x$ 的函数
函数部分	$y = + 25 - x^{2}$ / $y = - 25 - x^{2}$	根号后每个符号是一个函数；各部分重建整个图像
给定输入求输出	代入 $x$ ，解出 $y$	两分支关系上大多数输入给出两个输出（ $\pm$ ）
一起变化（比值为正）	相邻点间 $\frac{Δ y}{Δ x} > 0$	$x$ 和 $y$ 一起增大或一起减小
一起变化（比值为负）	相邻点间 $\frac{Δ y}{Δ x} < 0$	一个增大时另一个减小
水平/竖直的位置	$Δ y \approx 0$ 对 $Δ x \approx 0$	在 $y$ 停止变化处沿水平方向，在 $x$ 停止变化处沿竖直方向

下一步

隐式定义函数直接建立在函数概念和竖线检验之上，也为第4单元其余内容做了铺垫。接下来你会学习圆锥曲线——圆、椭圆和双曲线——它们正是你在这里一直拆成若干部分的那些二元方程；还会学习参数函数，它用一个参数提供了另一种描绘整条曲线（包括那些通不过竖线检验的曲线）的方法。本模块的技能——通过求解画方程图像、判断图像是否为函数、对某个变量求解、以及描述两个量如何一起变化——都会直接用到那些考点上。