三角方程与不等式 — AP 微积分预备课程
1. 三角方程与不等式概述 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
三角方程和不等式是包含三角函数的命题，要求我们找到满足给定关系的所有输入值。与多项式或有理方程不同，三角函数是周期函数，因此大多数不限定定义域的问题有无穷多解。
在AP微积分预备课程考试中，题目几乎总是指定限定定义域（最常见为$0 \leq x < 2\pi$），但也可能要求通解或数给定区间内解的个数。本主题占第3单元的约12%，同时出现在选择题和自由作答题部分。
2. 求解一次三角方程 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
核心求解策略遵循四个关键步骤：1. 将三角项分离到方程一侧；2. 检查得到的右侧值是否在三角函数的值域内；3. 利用单位圆或反三角求出辐角的参考解；4. 利用对称性找到辐角的所有解，求解出$x$，再筛选出符合要求定义域的解。
Exam tip: 一定要先检查分离后的三角项的值域——如果它超出可能范围（例如$\cos x = 2$），你可以立刻得出没有实数解的结论，在选择题中可以节省时间。
3. 求解二次三角方程 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
求解这类方程时，首先利用勾股恒等式$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$将混合项转换为单变量二次式，接下来通过因式分解或二次公式求解三角函数，每个解对应一个独立的一次三角方程，再用一次方程的方法求解。
Exam tip: 当你使用可能引入增根的操作（例如对等式两边平方）后，一定要将解代回原方程验证。
4. 求解三角不等式 ★★★★☆ ⏱ 3 min
三角不等式要求找到使三角表达式满足不等关系的所有输入值。我们利用三角函数的连续性和周期性找到有效的解区间。
核心流程是：1. 求解对应的等式（将不等号替换为等号）得到所有临界点；2. 将临界点按从小到大排序；3. 测试临界点之间每个区间内表达式的符号，或直接利用单位圆对称性识别有效区域。
Exam tip: 记住单位圆上余弦对应$x$坐标，正弦对应$y$坐标，因此你可以直接判断哪个象限满足不等式，无需测试每个区间。
Common Pitfalls
Why: 学生通常只给原三角函数加上周期，忘记调整水平拉伸带来的变化。
Why: 学生通过反三角函数得到参考角后就停止求解，忘记正弦和余弦每个周期会取每个值两次。
Why: 学生记住了正弦和余弦的$2\pi$周期性，忘记正切的周期更短，为$\pi$。
Why: 学生专注于对二次式因式分解，忘记检查每个解是否在三角函数的值域内。
Why: 学生急于写出解，没有检查原不等式的符号。
Why: 平方会引入使两边互为相反数的解，这些解满足平方后的方程但不满足原方程。