正切函数

AP 预备微积分· AP 预备微积分课程与考试说明（CED）—— 三角与极坐标函数· 14 分钟阅读

1. 什么是正切函数？★★☆☆☆⏱ 3 min

正切函数是周期三角函数，定义为同一个角的正弦值与余弦值的比值，通常记为 $tan (θ)$ ，按照AP预备微积分的约定，其中 $θ$ 是以弧度为单位的输入角度。

对于单位圆上终点为 $(x, y)$ 的任意角 $θ$ ，有 $tan (θ) = \frac{y}{x}$ ，该值等于从原点到 $(x, y)$ 的终边的斜率。与正弦和余弦不同，正切函数并非对所有实数输入都有定义，因此它具有带重复垂直渐近线的独特结构。在AP考试中，正切相关内容占总分的2-3%左右，会同时出现在选择题和自由作答题部分。

📘 定义

正切函数

$tan (θ)$

周期三角函数，定义为同一个输入角的正弦与余弦的比值，等于单位圆终边的斜率。

例:

对于 $θ = \frac{π}{4}$ ， $tan (\frac{π}{4}) = \frac{s i n ( \frac{π}{4} )}{c o s ( \frac{π}{4} )} = 1$

2. 关键性质：定义域、值域、周期和渐近线★★☆☆☆⏱ 3 min

正切函数的所有核心性质都直接来自其定义 $tan (θ) = \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}$ 。由于除以零无意义，正切函数在 $cos (θ) = 0$ 时无定义，此时 $θ = \frac{π}{2} + k π$ ，对所有整数 $k$ 成立。

\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

在每个无定义点，正切函数都有一条垂直渐近线：从左侧趋近时 $tan (θ) \to + \infty$ ，从右侧趋近时 $tan (θ) \to - \infty$ 。基本正切函数的值域是全体实数 $(- \infty, \infty)$ ，因为当余弦趋近于零时，该比值会无界增长。

正切函数与正弦/余弦的一个关键区别是周期：正切的基周期是 $π$ ，而非 $2 π$ ，因为 $tan (θ + π) = \frac{- s i n ( θ )}{- c o s ( θ )} = tan (θ)$ 。对于变换后的函数 $A tan (B x - C) + D$ ，周期为 $\frac{π}{∣ B ∣}$ 。

在任意两条相邻的垂直渐近线之间，正切图像始终递增，但它的凹凸性恰好改变一次。在每一支的左半部分，图像是凹向下的（concave down）：当 $θ$ 在这一半区间内增大时，变化率（割线的斜率）在递减。在右半部分，图像是凹向上的（concave up），此时变化率在递增。凹凸性由凹下转为凹上的那一个点——位于该支的中心、也就是基本正切函数取零值之处——就是一个拐点（point of inflection）。

📐 例题

求函数 $f (x) = tan (3 x - \frac{π}{4})$ 的定义域、周期和垂直渐近线。

1
对于任意正切函数，周期按 $\frac{π}{∣ B ∣}$ 计算。此处 $B = 3$ ，因此周期为：
2
$\frac{\pi}{3}$
3
要求垂直渐近线，将正切的整个自变量等于基渐近线位置 $\frac{π}{2} + k π$ （对所有整数 $k$ ）：
4
$3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$
5
求解 $x$ ：
6
$3x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$
7
定义域是除这些渐近线位置外的全体实数。

3. 正切函数的图像变换★★★☆☆⏱ 4 min

变换后正切函数的标准通式是：

f(x) = A\tan\left(B(x - h)\right) + k

每个常数都遵循标准变换法则，适配正切的独特结构： $∣ A ∣$ 控制纵向陡度， $A$ 的符号控制图像关于x轴翻转， $B$ 控制横向伸缩和周期， $h$ 是水平平移量， $k$ 是垂直平移量。只有 $B$ 会改变周期或渐近线位置； $A$ 和 $k$ 不影响这些性质。

📐 例题

写出一个正切函数的方程，满足：相邻垂直渐近线位于 $x = - \frac{π}{2}$ 和 $x = \frac{π}{2}$ ，经过点 $(\frac{π}{4}, 4)$ ，且在两条渐近线之间单调递增。

1
从通式 $f (x) = A tan (B (x - h)) + k$ 开始。题目未提到垂直平移，因此 $k = 0$ 。相邻渐近线的中点在 $x = 0$ ，因此没有水平平移， $h = 0$ 。
2
相邻渐近线之间的距离等于周期，因此：
3
$P = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi \implies \pi = \frac{\pi}{|B|} \implies |B| = 1, \text{ so } B=1$
4
函数单调递增，因此 $A$ 为正。利用点 $(\frac{π}{4}, 4)$ 求解 $A$ ：
5
$4 = A\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = A(1) \implies A=4$
6
满足所有条件的最终方程为：
7
$f(x) = 4\tan(x)$

4. 反正切函数★★★☆☆⏱ 3 min

由于正切函数是周期函数，每 $π$ 就会重复输出值，因此它在整个定义域上不是一一对应的。为了定义有效的反函数，我们将正切的定义域限制在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，该区间覆盖了一个完整周期，也覆盖了正切所有可能的输出值。

📘 定义

反正切函数

$arctan (x)$ or $tan^{- 1} (x)$

定义域限制为 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 的正切函数的反函数。根据定义， $y = arctan (x)$ 当且仅当 $tan (y) = x$ 且 $y \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 。

例:

$arctan (1) = \frac{π}{4}$ ，而非 $\frac{5 π}{4}$ ，因为 $\frac{5 π}{4}$ 不在限制值域内。

$arctan (x)$ 的定义域是全体实数 $(- \infty, \infty)$ （对应原正切函数的值域）， $arctan (x)$ 的值域是 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ （对应原正切函数的限制定义域）。 $arctan (x)$ 的图像在 $y = \pm \frac{π}{2}$ 处有水平渐近线。

📐 例题

计算 $arctan (\frac{1}{3})$ 的值，并求 $g (x) = 3 arctan (2 x) + π$ 的值域。

1
要计算 $arctan (\frac{1}{3})$ ，我们需要找到一个满足 $tan (y) = \frac{1}{3}$ 且 $y \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 的角 $y$ 。根据单位圆三角学，我们知道 $tan (\frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，因此：
2
$\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$
3
基本 $arctan (2 x)$ 的值域仍然是 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 。乘以3得到伸缩后的值域：
4
$\left(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$
5
加上 $π$ 得到垂直平移后的最终值域：
6
$\left(-\frac{3\pi}{2} + \pi, \frac{3\pi}{2} + \pi\right) = \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right)$

5. AP风格实操例题★★★★☆⏱ 4 min

📐 例题

以下哪个选项正确给出了 $f (x) = tan (\frac{x}{3} - \frac{π}{6})$ 的周期和第一个正垂直渐近线？ A) 周期 $3 π$ , 渐近线 $x = 2 π$ B) 周期 $\frac{π}{3}$ , 渐近线 $x = 2 π$ C) 周期 $3 π$ , 渐近线 $x = \frac{2 π}{3}$ D) 周期 $\frac{π}{3}$ , 渐近线 $x = \frac{2 π}{3}$

1
首先用公式 $P = \frac{π}{∣ B ∣}$ 计算周期。此处 $B = \frac{1}{3}$ ，因此：
2
$P = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$
3
这就排除了周期错误的选项B和D。接下来，将自变量等于最小的正基渐近线位置 $\frac{π}{2}$ ，求出第一个正垂直渐近线：
4
$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$
5
求解 $x$ ：
6
$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \implies x = 2\pi$
7
这与选项A一致，是正确答案。

📐 例题

考虑函数 $f (x) = 2 tan (3 (x - \frac{π}{9})) + 1$ 。 (a) 求 $f (x)$ 的周期和所有垂直渐近线的位置。 (b) 写出 $f (x)$ 的定义域和值域。 (c) 求区间 $[0, π]$ 内所有满足 $f (x) = 3$ 的 $x$ 值。

1
(a)问： $B = 3$ ，因此周期为：
2
$\frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$
3
将自变量等于 $\frac{π}{2} + k π$ 求解渐近线：
4
$3\left(x - \frac{\pi}{9}\right) = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{5\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$
5
(b)问：定义域是除上述渐近线位置外的全体实数。即使经过垂直平移，任意正切函数的值域都是全体实数，因此：
6
$\text{Domain}: \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{5\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}\right\}, \quad \text{Range}: (-\infty, \infty)$
7
(c)问：令 $f (x) = 3$ 并化简：
8
$2\tan\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 3 \implies \tan\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) = 1$
9
$tan (y) = 1$ 的解是 $y = \frac{π}{4} + k π$ ，因此代入求解 $x$ ：
10
$3x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + k\pi \implies x = \frac{7\pi}{36} + \frac{k\pi}{3}$
11
代入不同整数 $k$ 检验，得到 $[0, π]$ 内的解如下：
12
$x = \frac{7\pi}{36}, \frac{19\pi}{36}, \frac{31\pi}{36}$

📐 例题

测量员需要求信号塔顶部的仰角。到塔基的水平距离是85米，且 $tan (θ) = 0.42$ 。(a) 求 $θ$ 的弧度值，保留三位小数。(b) 测斜仪只能精确测量小于0.4弧度的角， $θ$ 是否在精确测量范围内？

1
当 $tan (θ) = 0.42$ 时，使用反正切求 $θ$ ：
2
$\theta = \arctan(0.42)$
3
使用弧度模式的计算器计算，结果约为0.398弧度。与最大精确角度0.4弧度比较，0.398 < 0.4，因此 $θ$ 在精确测量范围内。

6. 常见陷阱

错误做法:

认为基本正切函数的周期是 $2 π$ ，和正弦、余弦一致。

原因:

学生先学习正弦和余弦，因此记住了 $2 π$ 是默认三角周期，忘记正切的重复速度是两倍。

正确做法:

始终牢记正切的基周期是 $π$ ，变换后周期按 $\frac{π}{∣ B ∣}$ 计算，而非 $\frac{2 π}{∣ B ∣}$ 。

错误做法:

将 $f (x) = tan (2 x - π)$ 的渐近线错误求为 $x = \frac{π}{4} + k π$ 。

原因:

学生对基渐近线平移了 $C$ ，但忘记将平移量缩放 $\frac{1}{B}$ 倍。

正确做法:

始终将整个自变量等于 $\frac{π}{2} + k π$ ，然后逐步求解 $x$ 得到所有渐近线位置。

错误做法:

计算反正切时，将最终答案写为 $arctan (1) = \frac{5 π}{4}$ 。

原因:

学生混淆了求解一般正切方程和计算反正切函数，反正切函数要求输出在限制值域内。

正确做法:

交卷前始终检查反正切的输出是否落在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 内。

错误做法:

认为 $f (x) = A tan (B x) + k$ 中的 $A$ 会改变函数的周期。

原因:

学生混淆了纵向和横向变换，认为任何伸缩都会改变周期。

正确做法:

记住只有 $x$ 的系数 $B$ 会改变正切的周期； $A$ 只改变纵向陡度，不影响周期或渐近线。

错误做法:

求解 $tan (θ) = 1$ 时，只给出 $θ = \frac{π}{4}$ 作为通解。

原因:

学生只给出反正切的输出，忘记正切是周期为 $π$ 的周期函数。

正确做法:

找到基解 $θ_{0} = arctan (k)$ 后，始终加上 $+ nπ$ （而非 $+ 2 nπ$ ），得到对任意整数 $n$ 的所有通解。

错误做法:

混淆正切和反正切的定义域与值域。

原因:

学生在正切和反正切之间转换时，混淆了反函数的输入输出关系。

正确做法:

记住：正切是限制定义域，全体值域；反正切是全体定义域，限制值域。

7. 速查表

类别	公式/性质	注释
基本定义	$tan (θ) = \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} = \frac{y}{x}$	对应单位圆终点 $(x, y)$ ； $cos (θ) = 0$ 时无定义
一般变换后正切	$f (x) = A tan (B (x - h)) + k$	图像变换的标准形式
正切周期	$P = \frac{π}{∣ B ∣}$	始终为 $\frac{π}{∣ B ∣}$ ，而非正弦/余弦使用的 $\frac{2 π}{∣ B ∣}$
垂直渐近线	$B (x - h) = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$	每个周期一条渐近线
正切的定义域/值域	定义域：除渐近线外所有实数值域： $(- \infty, \infty)$	垂直平移不改变值域
反正切定义	$y = arctan (x) ⟺ tan (y) = x, y \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$	输出始终在限制区间内
反正切的定义域/值域	定义域： $(- \infty, \infty)$ 值域： $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$	在 $y = \pm \frac{π}{2}$ 处有水平渐近线

下一步

掌握正切函数为你未来的微积分课程打下坚实基础。本主题直接关联AP预备微积分第3单元的其他核心内容，包括三角恒等式、反三角函数和极坐标建模，所有这些内容都经常出现在AP考试中。熟练掌握正切变换和方程求解，能帮助你在考试日应对选择题和自由作答题。