正弦函数 — AP 微积分预备
本指南涵盖AP微积分预备考试要求的正弦函数一般形式、关键参数、根据图像构造方程以及真实世界周期现象建模内容。
Prerequisites
- 基函数正弦和余弦的基本性质
- 一般函数的变换
- 角度的弧度制
Learning Objectives
- 从一般形式中识别正弦函数的所有参数
- 根据标注图像构造正弦方程
- 用正弦函数对真实世界周期现象建模
- 对正弦函数应用变换法则
正弦函数的定义与作用
正弦函数是任何可以表示为基函数正弦或余弦变换形式的周期函数，会生成振幅和周期都恒定的光滑重复波浪形状。这使得正弦曲线成为对所有以稳定速率重复的真实世界过程建模的理想工具，该技能在AP微积分预备考试中占比很高。
根据AP微积分预备CED，正弦函数是第3单元的核心主题，约占该单元考试权重的30%。选择题通常考察参数识别，而自由作答题重点考察情境建模。
正弦函数
基函数正弦或余弦经过变换得到的周期函数，生成振幅和周期恒定的光滑波浪。
一般正弦形式的参数
AP微积分预备偏好使用标准因式分解形式的正弦函数一般形式，可避免常见错误，该形式为：
f(x) = A \sin\left(B(x - C)\right) + D \quad \text{or} \quad f(x) = A \cos\left(B(x - C)\right) + D
每个参数直接对应基函数 $y = \sin x$ 或 $y = \cos x$ 的变换，基函数的振幅为 1，周期为 $2\pi$，无相位偏移，中线在 $y=0$：
- $|A|$ = **振幅**: 函数最大值与最小值之间垂直距离的一半，描述波浪的高度。$A$的符号会使图像关于中线对称翻转。
- **周期**: $T = \frac{2\pi}{|B|}$，一个完整重复周期的水平长度。**频率**: $f = \frac{|B|}{2\pi} = \frac{1}{T}$，每单位输入量的周期数量。
- $C$ = **相位偏移**: 相对于基函数的水平平移量。如果 $C>0$，向右平移 $C$ 个单位；如果 $C<0$，向左平移 $|C|$ 个单位。
- $D$ = **垂直平移 / 中线**: 穿过波浪中心的水平线 $y=D$。最大值为 $D + |A|$，最小值为 $D - |A|$。
如果函数以非因式分解形式 $A\sin(Bx - C) + D$ 给出，相位偏移是 $\frac{C}{B}$，不是 $C$，这是常见错误来源。
Worked example: 找出 $g(t) = -3 \sin\left(\frac{\pi}{2} t + \pi\right) + 1$ 的振幅、周期、相位偏移和中线。将函数改写为标准因式分解形式。
根据图像构造正弦方程
从标注图像推导正弦曲线的方程是AP微积分预备的核心技能。步骤遵循固定顺序可避免错误：
- 先找中线 $D$，即最大值和最小值 $y$ 坐标的平均值: $D = \frac{\max + \min}{2}$。
- 找振幅 $|A|$ 为最大值减最小值差的一半: $|A| = \frac{\max - \min}{2}$。$A$ 的符号取决于你所选基函数的起点关键点是最大值还是最小值。
- 找周期 $T$ 为两个连续最大值或两个连续最小值之间的水平距离。连续最大值和最小值之间的距离是半个周期。
- 计算 $B = \frac{2\pi}{T}$。
- 通过匹配已知关键点（例如余弦的最大值、正弦上升中线点）与基函数，找到相位偏移 $C$。
你可以选择正弦或余弦作为基函数；只要参数准确，两者都是正确的，但选择匹配起点关键点的基函数可以简化计算。
Worked example: 某正弦图像在 $(0, 5)$ 处有最大值，下一个连续最小值在 $(4, 1)$。使用余弦基函数写出方程。
对真实世界周期现象建模
正弦函数是微积分预备中对重复真实世界过程建模的主要工具：每日气温、潮汐高度、钟摆运动、季节性销售周期、交流电等等，不胜枚举。成功建模的关键是将情境映射到标准参数，从明确定义输入变量开始（通常是时间 $t$，且将 $t=0$ 设为有意义的起点，例如午夜或1月1日）。
在使用模型预测前，始终检查模型在给定关键点处的输出是否正确。
Worked example: 沿海港口的潮汐高度是正弦函数。高潮12英尺发生在凌晨2点（午夜后 $t=2$ 小时），低潮2英尺发生在6小时15分钟后。写出高度 $H(t)$（单位：英尺）的模型，其中 $t$ 是午夜后的小时数。
AP风格练习题
Worked example: 挪威奥斯陆的日照时长可以建模为时间 $t$ 的正弦函数，其中 $t=0$ 是1月1日（冬至），周期为365天，最小日照时长为6小时，最大为18小时。写出日照时长 $D(t)$ 的模型，并预测1月1日后91.25天的日照时长。