正弦、余弦与正切（直角三角形） — AP 预备微积分

1. 直角三角形三角学基础 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

直角三角形三角学给出了三个核心三角函数的基础定义，其依据是直角三角形边长比为定值的性质。所有含有相等锐角的直角三角形都相似，因此对于给定角度，任意两边的比值与三角形大小无关，是固定值。该定义适用于$0^\circ$到$90^\circ$（即$0$到$\pi/2$弧度）之间的角度，之后我们会通过单位圆将定义扩展到全体实数。掌握本部分内容是学习AP预备微积分所有后续三角学内容的基础，它占考试总分的7%-10%，会在选择题（MCQ）和自由作答题（FRQ）部分都考查。

2. 核心三角比与SOHCAHTOA定义 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

在任意直角三角形中，各边的命名都是*相对于你正在分析的锐角$\theta$*，而非直角。斜边永远是直角对边（也是最长边）。对边是不接触$\theta$的直角边，邻边是接触$\theta$的直角边。

\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{O}{H}

\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} = \frac{A}{H}

\tan\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{O}{A}

Exam tip: 一定要相对于目标角标注各边，而非另一个锐角。混淆对边和邻边是基础三角比题目中最常见的错误，也是选择题中常见的干扰项设计。

3. 求解未知边长与角度 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

只要你知道直角三角形至少一条边长和一个锐角，就可以利用SOHCAHTOA、勾股定理，以及两个锐角和为$90^\circ$的性质求出所有未知边长和角度。

1. 求解未知边长：(1) 相对于已知角度标注出已知边和需求解的边，(2) 选择连接已知边和未知边的三角比，(3) 列方程并整理后求解。
2. 求解未知锐角：(1) 相对于未知角度标注出两条已知边，(2) 列出对应三角比，再使用相应的反三角函数（$\arcsin$、$\arccos$、$\arctan$）求解角度。

Exam tip: 计算三角函数或反三角函数值之前，一定要检查计算器的角度模式；混淆角度制和弧度制得到的错误答案永远会和某一个选择题干扰项匹配，很容易做错。

4. 直角三角形的余函数恒等式 ★★★☆☆ ⏱ 3 min

直角三角形的两个锐角互余（和为$90^\circ$或$\pi/2$弧度）。对于锐角$\theta$，另一个锐角为$90^\circ - \theta$，此时对边和邻边相对于这个新角会互换位置，由此我们得到了余函数恒等式。

\sin(\theta) = \cos(90^\circ - \theta)

\cos(\theta) = \sin(90^\circ - \theta)

\tan(\theta) = \cot(90^\circ - \theta)

这些恒等式可用于化简三角表达式、关联互余角，帮助你在考试中节省时间。“余弦（cosine）”这个名称本身就是“complementary sine（互余正弦）”的缩写，正是来源于这个关系。

Exam tip: 如果你的表达式中出现两个和为$90^\circ$（或$\pi/2$弧度）的角度，在拿计算器计算前一定要先检查是否可以用余函数恒等式化简，这样能节省时间。

5. AP风格例题讲解 ★★★☆☆ ⏱ 5 min