正弦与余弦函数图像 — AP 预备微积分

1. 原正弦与余弦图像的关键特征 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

未变换的（原）正弦和余弦函数是$y = \sin x$和$y = \cos x$，其中$x$以弧度为单位，除非另有明确说明，这是AP预备微积分的标准约定。两个函数具有共同核心性质：定义域为全体实数$(-\infty, \infty)$，值域为$[-1, 1]$，基本周期为$2\pi$，即一个完整振荡周期在长度为$2\pi$的区间上完成。

对于原正弦函数$y = \sin x$：y轴截距为$(0,0)$，x截距出现在所有$x = k\pi$（$k$为任意整数）处，最大值1出现在$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，最小值-1出现在$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$。它是奇函数，关于原点对称。对于原余弦函数$y = \cos x$：y轴截距为$(0,1)$，x截距出现在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$为任意整数）处，最大值1出现在$x = 2k\pi$，最小值-1出现在$x = \pi + 2k\pi$。它是偶函数，关于y轴对称。

Exam tip: 始终确认你的解落在题目指定区间内——AP考题经常考察你将解限制在给定定义域的能力，只有区间内的解才能获得全分。

2. 正弦函数的变换 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

任意平移、拉伸或反射后的正弦/余弦图像都可以写成标准一般形式：

f(x) = A\sin\left(B(x - C)\right) + D \quad \text{or} \quad f(x) = A\cos\left(B(x - C)\right) + D

• $|A|$ = **振幅**：图像中线（图像的中心线）到任意最大值或最小值的垂直距离。如果$A < 0$，图像会关于中线反射。
• 周期 = $\frac{2\pi}{|B|}$：图像一个完整周期的长度。$|B|$越大，图像水平压缩越厉害，周期越短（振荡越快）。$B$的符号仅使图像水平反射，不改变周期。
• $C$ = **相位偏移**：图像的水平平移。如果$C > 0$，图像向右平移$C$个单位；如果$C < 0$，向左平移$C$个单位。
• $D$ = **垂直平移**：图像的中线是水平线$y = D$。

Exam tip: 如果你对相位偏移的计算不确定，可以将偏移后的起点代入函数，验证它是否符合原函数的预期输出。

3. 根据特征或图像构造正弦函数 ★★★★☆ ⏱ 4 min

AP预备微积分经常要求你根据给定的图像或关键特征写出正弦函数的方程。遵循这个一致的分步方法求解$A, B, C, D$：

1. 求$D$（中线/垂直平移）：$D = \frac{\text{最大值} + \text{最小值}}{2}$
2. 求$|A|$（振幅）：$|A| = \text{最大值} - D = D - \text{最小值}$
3. 求周期：测量两个连续相同点（例如两个连续最大值）之间的水平距离，然后计算$B = \frac{2\pi}{\text{周期}}$
4. 求$C$（相位偏移）：选择以正弦或余弦为基底简化计算。如果最大值/最小值在$x=0$处，使用$C=0$的余弦函数可以避免额外计算。如果斜率为正的中线点在$x=0$处，使用$C=0$的正弦函数。

Exam tip: 任意正弦函数都可以写成平移后的正弦或余弦形式——只要符合给定特征，两种都是正确的，但选择能让$C$简化为0的形式可以减少符号错误的概率。

4. AP风格练习例题 ★★★☆☆ ⏱ 2 min