极坐标函数的变化率

AP 预备微积分· AP Precalculus CED — Trigonometric and Polar Functions· 12 分钟阅读

1. 随 θ 增大时到极点的距离★★☆☆☆⏱ 3 min

极坐标函数 $r = f (θ)$ 以角度 $θ$ 为输入，以有符号半径 $r$ 为输出。随着 $θ$ 增大，点 $(r, θ)$ 沿曲线移动，它到极点（原点）的距离为 $∣ r ∣$ 。距离是在增大还是减小，取决于两件事的共同作用： $r$ 的正负，以及 $r$ 是在增还是在减。

$r > 0$ 且在增大： 距离 $∣ r ∣$ 变大，点远离极点。
$r > 0$ 且在减小： 距离 $∣ r ∣$ 变小，点靠近极点。
$r < 0$ 且在减小（越来越负）： $∣ r ∣$ 变大，点远离极点。
$r < 0$ 且在增大（回升趋向 $0$ ）： $∣ r ∣$ 变小，点靠近极点。

📐 例题

对于 $r = 3 + 2 sin θ$ ，描述当 $θ$ 从 $0$ 增大到 $π$ 时，点到极点的距离如何变化。

1
半径为 $r = 3 + 2 sin θ$ 。由于 $3 > 2$ ， $r$ 在该区间上始终为正，因此到极点的距离就等于 $r$ 本身。
2
在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上， $sin θ$ 从 $0$ 增大到 $1$ ，因此 $r$ 从 $3$ 增大到 $5$ 。
3
此处 $r > 0$ 且在增大，因此点远离极点（距离从 $3$ 增大到 $5$ ）。
4
在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上， $sin θ$ 从 $1$ 减小回 $0$ ，因此 $r$ 从 $5$ 减小到 $3$ 。
5
此处 $r > 0$ 且在减小，因此点靠近极点（距离从 $5$ 减小回 $3$ ）。

2. 离极点最近和最远的点★★★☆☆⏱ 4 min

在 $r$ 由增转减（或由减转增）的地方，函数取得相对极大或极小值。 $r$ 的这些相对极值标出了曲线上局部离极点最远或最近的点。在 AP 微积分预备课程中，你要描述性地定位它们——通过观察函数的峰和谷——而不是求导。

对于正弦型半径 $r = a + b sin θ$ 或 $r = a + b cos θ$ ， $r$ 的最大值和最小值恰好出现在正弦或余弦取到 $+ 1$ 或 $- 1$ 的地方。

📐 例题

对于 $[0, 2 π)$ 上的 $r = 3 + 2 cos θ$ ，求离极点最近和最远的点。

1
半径 $r = 3 + 2 cos θ$ 在 $cos θ$ 最大时最大。由于 $cos θ = 1$ 出现在 $θ = 0$ ，此时 $r = 3 + 2 = 5$ 。
2
半径在 $cos θ$ 最小时最小。由于 $cos θ = - 1$ 出现在 $θ = π$ ，此时 $r = 3 - 2 = 1$ 。
3
两个值都是正的，因此到极点的距离等于 $r$ 。最远的点在 $θ = 0$ （距离 $5$ ）；最近的点在 $θ = π$ （距离 $1$ ）。

✓ 快速检测

用这道 AP 风格的选择题测试你的理解：

对于极坐标函数 $r = 4 + sin θ$ ，点在哪个角度处离极点最远？
- $θ = 0$
- $θ = \frac{π}{2}$
- $θ = π$
- $θ = \frac{3 π}{2}$
显示答案
1 —
正确！ $r$ 在 $sin θ = 1$ 时最大，即 $θ = \frac{π}{2}$ 处，此时 $r = 5$ ——到极点的距离最大。

3. r 关于 θ 的平均变化率★★★☆☆⏱ 4 min

$r$ 关于 $θ$ 在区间 $[θ_{1}, θ_{2}]$ 上的平均变化率，衡量的是当角度扫过该区间时，半径平均变化的快慢。它等于 $r$ 的变化量除以 $θ$ 的变化量。

\text{平均变化率} = \frac{r(\theta_2) - r(\theta_1)}{\theta_2 - \theta_1}

由于 $θ$ 以弧度为单位，这个变化率读作每弧度的半径变化量。正值表示在该区间上半径在增大；负值表示在减小。

📐 例题

求 $r = 4 sin θ$ 关于 $θ$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上的平均变化率。

1
在端点处计算 $r$ ：
2
$r\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4\sin\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2, \qquad r\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4\sin\frac{\pi}{2} = 4 \cdot 1 = 4$
3
用 $r$ 的变化量除以 $θ$ 的变化量：
4
$\frac{4 - 2}{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}} = \frac{2}{\frac{\pi}{3}} = \frac{6}{\pi} \approx 1.91$

4. 用平均变化率估计 r★★★☆☆⏱ 3 min

在一个小区间上的平均变化率可以用来估计邻近角度处的半径。如果你已知某角度处的 $r$ 以及附近的平均变化率，那么对于一个小步长 $Δ θ$ ：

r(\theta + \Delta\theta) \approx r(\theta) + (\text{平均变化率}) \cdot \Delta\theta

这与第 1 单元中用于函数的割线估计是同一种思路，只是现在应用到作为 $θ$ 的函数的 $r$ 上。 $Δ θ$ 越小，估计越好。

📐 例题

某极坐标函数 $r = f (θ)$ 满足 $r (1.2) = 3.4$ 和 $r (1.5) = 4.0$ 。估计 $r (1.6)$ 。

1
用这两个已知值求 $r$ 在 $[1.2, 1.5]$ 上的平均变化率：
2
$\frac{r(1.5) - r(1.2)}{1.5 - 1.2} = \frac{4.0 - 3.4}{0.3} = \frac{0.6}{0.3} = 2.0$
3
在这些角度附近，半径大约以每弧度 $2.0$ 的速率增大。从 $θ = 1.5$ 前进 $Δ θ = 0.1$ ：
4
$r(1.6) \approx r(1.5) + 2.0 \cdot (0.1) = 4.0 + 0.2 = 4.2$

5. 常见陷阱

错误做法:

把 $r$ 的最小值当作离极点最近的点

原因:

当 $r$ 为负时，距离是 $∣ r ∣$ ，因此一个绝对值很大的负 $r$ 反而离极点很远；最近处是 $∣ r ∣$ 最小的地方（常常是 $r = 0$ 处）。

正确做法:

用 $∣ r ∣$ 比较距离：最近的点 $∣ r ∣$ 最小，最远的点 $∣ r ∣$ 最大。

错误做法:

用求导来找最近或最远的点

原因:

AP 微积分预备课程用描述性方法定位 $r$ 的相对极值；令 $f^{'} (θ) = 0$ 是微积分方法，不属于本课程。

正确做法:

直接从正弦或余弦的峰和谷读出 $r$ 的最大值和最小值（或在区间上取值比较）。

错误做法:

计算平均变化率时忘记 $θ$ 是弧度

原因:

用角度制会改变 $θ_{2} - θ_{1}$ 的大小，得到错误的变化率；CED 按每弧度解读该变化率。

正确做法:

保持 $θ$ 为弧度，使平均变化率表示为每弧度的半径变化量。

错误做法:

把 $r$ 本身的值当作 $r$ 的变化率

原因:

半径和它的变化率是不同的量；半径大并不意味着变化率大。

正确做法:

按 $\frac{r ( θ _{2} ) - r ( θ _{1} )}{θ _{2} - θ _{1}}$ 计算变化率——是 $r$ 的变化量除以 $θ$ 的变化量。

错误做法:

认为只要 $r$ 增大，点就一定远离极点

原因:

如果 $r$ 为负， $r$ 增大（趋向 $0$ ）反而让 $∣ r ∣$ 变小，使点靠近极点。

正确做法:

在判断远离还是靠近之前，要同时看 $r$ 的正负和它是在增还是在减。

6. 速查表

情形	使用方法	说明
到极点的距离	$∣ r ∣$	取绝对值； $r$ 可以为负
点远离极点	$r > 0$ 增大，或 $r < 0$ 减小	$∣ r ∣$ 在变大
点靠近极点	$r > 0$ 减小，或 $r < 0$ 增大	$∣ r ∣$ 在变小
最远 / 最近的点	$r$ 的相对极大 / 极小值（正弦曲线的峰和谷）	描述性求得——不用求导
$a + b sin θ$ 的最大 / 最小 $r$	$sin θ = 1$ 时最大， $sin θ = - 1$ 时最小	$cos θ$ 同理
$r$ 的平均变化率	$\frac{r ( θ _{2} ) - r ( θ _{1} )}{θ _{2} - θ _{1}}$	按每弧度解读
估计邻近的 $r$	$r (θ + Δ θ) \approx r (θ) + (变化率) \cdot Δ θ$	取较小的 $Δ θ$

下一步

现在你已经掌握了第 3 单元极坐标函数的完整描述性工具：读出点到极点距离的增减、从 $r$ 的峰谷定位最近和最远的点，以及计算和应用 $r$ 关于 $θ$ 的平均变化率。这些思想直接建立在第 1 单元的平均变化率和第 3 单元早先学习的正弦型行为之上，并使本课程的极坐标部分完整闭环。复习下面的相关主题，保持这些联系的清晰。