三角函数的等价表示

AP 预备微积分· AP Precalculus CED — Trigonometric and Polar Functions· 14 分钟阅读

1. 勾股恒等式与化简★★☆☆☆⏱ 3 min

勾股恒等式是改写三角表达式最常用的工具，直接由单位圆方程推导而来。对于单位圆上对应点 $(x, y)$ 的任意角度 $θ$ ，满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，代入 $x = cos θ$ 、 $y = sin θ$ 即可得到核心恒等式：

cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1

两边除以 $cos^{2} θ$ （ $cos θ \neq = 0$ 时）得到正切-正割形式： $1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$ ；两边除以 $sin^{2} θ$ （ $sin θ \neq = 0$ 时）得到余切-余割形式： $1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$ 。这些恒等式可用于替换二次项、约去公因子，化简为单个基本三角项。

📘 定义

等价三角表示

在共同定义域内的所有输入都产生相同输出值的不同代数表达式。等价要求定义域匹配，而不只是在两者都有定义的位置输出匹配。

例:

$\frac{1 - s i n ^{2} θ}{c o s θ}$ and $cos θ$ are only equivalent when $cos θ \neq = 0$

📐 例题

在原表达式有定义的所有 $θ$ 范围内，将 $\frac{1 - s i n ^{2} θ}{1 - c o s ^{2} θ}$ 化简为单个基本三角函数的等价表达式。

1
对分子应用核心勾股恒等式：
$1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$
2
对分母应用核心勾股恒等式：
$1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$
3
改写分数并使用余切的定义：
$\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \left(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^2 = \cot^2 \theta$
4
化简后的表达式 $cot^{2} θ$ 与原表达式定义域相同（ $sin θ \neq = 0$ ），因此二者完全等价。

Exam tip:

务必确认化简后的表达式与原表达式定义域相同。如果原表达式排除了化简形式允许的输入值，在自由作答题中必须明确注明排除值才能得满分。

2. 二倍角恒等式★★★☆☆⏱ 3 min

二倍角恒等式将 $2 θ$ 的三角函数与 $θ$ 的三角函数联系起来。它们由正弦和余弦的和角恒等式推导而来。在正弦和角恒等式中令 $A = B = θ$ ，可得：

\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta

对于余弦，令 $A = B = θ$ 可得三种等价形式：

\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta

Exam tip:

牢记余弦二倍角恒等式的三种形式；选择与表达式其余部分匹配的形式（全用余弦或全用正弦）往往是干净化简的关键。

3. AP风格例题练习★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 快速检测

在原表达式有定义的所有 $θ$ 范围内，以下哪个表达式与 $\frac{c o s 2 θ}{c o s θ - s i n θ}$ 等价？

- A) $1$
- B) $cos θ + sin θ$
- C) $cos 2 θ$
- D) $\frac{1}{c o s θ + s i n θ}$
显示答案
B —
改写 $cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ$ ，因式分解为 $(cos θ - sin θ) (cos θ + sin θ)$ 。约去公因子（原表达式中 $cos θ - sin θ \neq = 0$ ，因此该操作合法），得到 $cos θ + sin θ$ 。

4. 常见陷阱

错误做法:

化简 $\frac{1 - s i n ^{2} θ}{c o s θ} = cos θ$ 后，声称两个表达式对所有实数 $θ$ 都等价

原因:

原表达式排除了所有 $cos θ = 0$ 的 $θ$ ，而 $cos θ$ 对所有 $θ$ 都有定义，因此不注明排除值的话二者不完全等价

正确做法:

陈述等价性时，务必比较原表达式和化简后表达式的定义域，明确列出所有被排除的输入值

错误做法:

忘记正弦二倍角恒等式中的 $cos θ$ 项，写成 $sin 2 θ = 2 sin θ$

原因:

学生记得因子2，但快速化简时漏掉了余弦项

正确做法:

化简前务必写出完整恒等式 $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ ，绝不要省略余弦项

5. 速查表

类别	公式	说明
核心勾股恒等式	$cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$	对所有实数 $θ$ 成立，用于转换二次项
正切-正割勾股恒等式	$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$	$cos θ \neq = 0$ 时有定义
余切-余割勾股恒等式	$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$	$sin θ \neq = 0$ 时有定义
二倍角（正弦）	$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$	对所有实数 $θ$ 成立
二倍角（余弦）	$cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ$	三种等价形式，适用于不同场景

下一步

本主题是第3单元后续核心主题：三角方程求解和周期现象建模的基础先修内容，这两个主题在AP微积分预备考试中占比很大。如果不能利用勾股恒等式和二倍角恒等式将三角表达式改写为等价化简形式，你就无法对复杂三角方程因式分解，也无法把表达式化简到可求解的形式，而这些都是选择题和自由作答题中常见的考点。这些运算能力也为你的后续课程打下坚实基础。