三角函数的等价表示 — AP 微积分预备

1. 勾股恒等式与化简 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

勾股恒等式是改写三角表达式最常用的工具，直接由单位圆方程推导而来。对于单位圆上对应点$(x,y)$的任意角度$\theta$，满足$x^2 + y^2 = 1$，代入$x = \cos\theta$、$y = \sin\theta$即可得到核心恒等式：

cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1

两边除以$\cos^2 \theta$（$\cos\theta \neq 0$时）得到正切-正割形式：$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$；两边除以$\sin^2 \theta$（$\sin\theta \neq 0$时）得到余切-余割形式：$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$。这些恒等式可用于替换二次项、约去公因子，化简为单个基本三角项。

Exam tip: 务必确认化简后的表达式与原表达式定义域相同。如果原表达式排除了化简形式允许的输入值，在自由作答题中必须明确注明排除值才能得满分。

2. 二倍角恒等式与降幂恒等式 ★★★☆☆ ⏱ 3 min

二倍角和降幂恒等式可以在$2\theta$的三角函数和$\theta$的三角函数之间转换，将正弦/余弦的二次幂转换为二倍角的线性函数。这些恒等式由正弦和余弦的和角公式推导而来，在正弦和角公式中令$A = B = \theta$可得：

\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta

对于余弦，令$A = B = \theta$可得三种等价形式：

\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta

整理后两种形式即可得到降幂恒等式：

\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}, \quad \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}

Exam tip: 牢记降幂恒等式的符号规律：'正弦负，余弦正'，避免化简时出现符号错误。

3. 合并正弦曲线的振幅-相位形式 ★★★★☆ ⏱ 3 min

任意相同周期的正弦和余弦线性组合都可以改写为单个等价正弦函数，更便于分析振幅、最大值/最小值和相位偏移。这种等价表示称为振幅-相位形式，遵循以下公式：

a\cos Bx + b\sin Bx = C\cos(Bx - \phi) + D

其中$C = \sqrt{a^2 + b^2}$（振幅，按惯例取正值），$\cos \phi = \frac{a}{C}$，$\sin \phi = \frac{b}{C}$，$D$为任意垂直偏移。

Exam tip: 务必根据$\cos \phi$和$\sin \phi$的符号确认$\phi$所在象限，不要直接使用反正切的输出，因为反正切仅给出$-\pi/2$到$\pi/2$之间的值，会漏掉其他象限的角度。

4. 积化和差与和差化积恒等式 ★★★★☆ ⏱ 3 min

这些恒等式可以将正弦/余弦的乘积改写为和，或将正弦/余弦的和改写为乘积，有助于对三角表达式因式分解，求解含多个三角项的方程。最常用的正弦和差化积恒等式是：

\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)

该恒等式将两个正弦的和转换为乘积，之后即可令其等于零，利用零乘积性质求解。

Exam tip: 和差化积仅适用于两个同类型、同周期的三角函数（两个正弦或两个余弦）；对于正弦和余弦的混合和，应使用振幅-相位形式。

5. AP风格例题练习 ★★★☆☆ ⏱ 5 min