对数函数变形 — AP 微积分预科
1. 对数展开核心法则 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
所有对数变形法则都是指数法则的直接推论，因为根据定义$\log_b(a) = x$等价于$b^x = a$。乘积、商和幂法则都直接对应指数性质，用于将复杂对数表达式展开为更简单的项。
Exam tip: 展开时，在应用幂法则前一定要先把根改写为分数指数，避免弄错指数值。
2. 合并对数表达式 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
合并是展开的逆过程：我们将多个对数项合并为一个简化的对数。这一步通常在解对数方程前，或是改写对数函数以识别截距、渐近线等关键特征时需要。为避免错误应用法则，合并项前一定要先把系数移到指数位置。
Exam tip: 绝对不能直接相加不同真数对数的系数，合并任何项前都要先把系数移到指数位置。
3. 换底公式 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
换底公式允许我们将任意底数的对数改写为我们所选新底数的两个对数的比值。在AP考试中，它用于用计算器计算非标准底数的对数，或是将表达式中所有项转换为同一底数以便进一步变形。
Exam tip: 一定要反复检查分子分母的顺序：原真数放分子，原底数放分母，交换位置会得到正确答案的倒数。
4. AP风格例题 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了$\log_b(mn)$的乘积法则和对数内部的和，真数相加没有通用法则。
Why: 学生混淆了换底公式中两个对数的比值和单个对数内部除法的商法则。
Why: $\ln x^2$对所有$x \neq 0$都有定义，但$2\ln x$仅对$x>0$有定义，因此定义域不匹配。
Why: 学生错误理解幂法则，将真数上的指数和整个对数本身的指数混淆。
Why: 学生忘记所有核心对数合并法则都要求项的底数相同。