对数表达式 — AP 微积分预科
AP 微积分预科 · 第二单元：指数与对数函数 · 14 min read
1. 定义与对数-指数等价关系 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
对数表达式是指包含一个或多个对数的代数表达式，对数是指数函数的反函数。对数解决的问题是：将给定的底数升到多少次方，才能得到真数的值？在AP考试中，你主要会遇到常用对数（底数为10，记作$\text{log }x$）和自然对数（底数为$e$，记作$\text{ln }x$），不过任意满足$b \neq 1$的正底数都是合法的。掌握这个主题是第二单元几乎所有后续内容的基础，因此这里的错误会传导到高分值的题目中。
Exam tip: 如果你不确定对数值，将其转换回指数形式验证即可——这只需要10秒，几乎可以消除所有符号错误。
2. 对数核心性质：展开与合并 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
由于对数是指数的逆运算，它们的性质直接对应我们熟悉的指数法则。对于任意满足$b \neq 1$的正底数$b$，正真数$M, N$，以及实数$k$，三个核心性质可用于解决AP考试中两种常见任务：将单个合并后的表达式展开为更简单的项，或将多个对数的和/差合并为单个表达式。
- 乘积法则：$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$（对应$b^m b^n = b^{m+n}$）
- 商法则：$\log_b\left(\frac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$（对应$\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$）
- 幂法则：$\log_b(M^k) = k \log_b M$（对应$(b^m)^k = b^{mk}$）
Exam tip: 合并表达式时，一定要先把系数作为指数移入对数内部，再用乘积/商法则合并项——这可以避免常见的系数错误。
3. 换底公式 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
换底公式将任意底数的对数改写为另一个底数的两个对数的比值。当我们需要用计算器计算非常用/非自然对数，或是化简混合底数的表达式时，都需要用到这个公式。
Exam tip: 如果题目要求计算一个对数，且其底数和真数都是同一个更小底数的幂，一定要先改写消去对数，避免不必要的计算器运算。
4. AP风格例题练习 ★★★★☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了对数乘积法则和对数内部的加法；对数的和不存在通用的展开法则。
Why: 学生混淆了换底公式（两个独立对数的商）和商法则（商法则适用于单个对数内部的商）。
Why: 学生错误地对负真数应用幂法则，忘记了所有对数的真数都必须为正的定义域要求。
Why: 学生误用幂法则，幂法则仅适用于对数内部的幂，不适用于整个对数本身被乘方的情况。
Why: 学生错误地将普通代数中的倒数法则套用在对数上，忘记了倒数的幂法则。
Quick Reference Cheatsheet