指数与对数方程及不等式 — AP 预备微积分
1. 求解指数方程 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
指数方程的一般形式为 $a^{f(x)} = b^{g(x)}$，其中 $a,b>0$ 且 $a,b \neq 1$。根据底数能否改写为相同底数，共有两种核心求解方法。
如果方程两边都可以改写为相同底数，应用一对一性质去掉底数，直接求解得到的多项式方程即可。如果底数无法统一，对两边取自然对数或常用对数，利用幂法则 $\ln a^b = b\ln a$ 将指数降下，然后求解 $x$。
Exam tip: 始终确认题目要求的形式（精确值还是近似值）；AP预备微积分的近似结果几乎都要求保留三位小数，因此请务必检查你的舍入是否正确。
2. 求解对数方程 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
求解对数方程时，我们可以对相同对数运用一对一性质，或利用对数定义将方程改写为指数形式。最关键的步骤是检查增根，增根出现在解使得原对数的真数非正的情况。
Exam tip: 始终根据原方程写出定义域限制，而不只是合并后的对数；即使合并后的真数为正，原单个真数也可能为负，从而得到无效解。
3. 求解指数与对数不等式 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
指数与对数不等式的初始步骤和方程相同：先求定义域，再改写运用一对一性质。关键区别在于，需要根据函数是递增还是递减调整不等号方向。
对于底数 $b>1$，$b^x$ 和 $\log_b x$ 都是严格递增函数，因此去掉底数或对数时不等号方向保持不变。对于 $0<b<1$，两个函数都是严格递减函数，因此去掉底数或对数时需要反转不等号方向。最终解集是化简后的解与原定义域的交集。
Exam tip: 如果题目没有指定解的形式，使用区间记号；它在AP预备微积分考试中被普遍接受，更不容易出现记号错误。
4. AP风格练习题 ★★★★☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生记住了一对一性质，但忘记只有正真数才有效，因此常常保留增根。
Why: 学生混淆了不等号方向的底数规则，对于大于1的底数本应保持方向，却错误反转。
Why: 除以变量表达式时默认它非零，这会消除 $x=0$ 处的可能根。
Why: 幂法则 $\ln a^b = b \ln a$ 仅在 $a>0$ 时成立；即使 $2x+1$ 为负，平方后真数也会为正，因此会丢失解。
Why: 对于使原单个对数的真数为负的值，合并后的真数仍可能为正，从而得到无效解。