函数的复合 — AP 预备微积分
1. 函数复合简介 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
函数复合是将一个函数的输出作为第二个函数的输入，把多个函数组合为一个新函数的过程。根据AP预备微积分课程描述（CED），这是第二单元的核心技能，在第二单元的选择题和自由作答题中，占考题的8-12%。
在AP预备微积分第二单元中，复合最常出现在指数/对数与多项式的组合，或是指数函数与对数函数互相组合的情况，尤其是在处理反函数的时候。
2. 复合函数的求值 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
对给定输入$x$求值复合函数遵循一条核心规则：永远从内向外计算。先计算内层函数（记号中最靠近$x$的函数），再将其输出代入外层函数作为新输入。
Exam tip: 开始计算前一定要明确确认复合顺序，避免掉入常见干扰项的陷阱。
3. 求复合函数的表达式和定义域 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
求$(f \circ g)(x)$的一般代数表达式时，将$g(x)$整个表达式替换外层函数$f$中的$x$即可。考试常考的技能是求新复合函数的定义域，复合函数的定义域必须满足两个条件：1) $x$属于内层函数$g$的定义域，2) 输出$g(x)$属于外层函数$f$的定义域。
4. 函数与其反函数的复合 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
反函数的一个核心性质是：一个函数与其反函数复合得到恒等函数，输出就是原输入。对任意一一对应函数$f$和其反函数$f^{-1}$，两个核心恒等式成立：
(f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = x
(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x
在第二单元中，这个性质最常应用于指数函数和对数函数的反函数对：当$b>0, b \neq 1$时，$f(x) = b^x$，$f^{-1}(x) = \log_b x$。由此得到恒等式$b^{\log_b x} = x$（$x>0$时成立）和$\log_b(b^x) = x$（对所有实数$x$成立），这两个恒等式常被用来化简表达式和解方程。
5. AP风格概念检测 ★★★★☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了记号的顺序，忘记最靠近$x$的函数是需要先计算的内层函数。
Why: 化简会消去带来定义域限制的项，导致错误地包含不允许的输入。
Why: 学生记住了恒等式，却忘记了对数的定义域限制。
Why: 学生将复合与函数乘法混淆，函数乘法是满足交换律的。
Why: 学生颠倒了幂法则$\ln x^a = a \ln x$，错误地把系数当成乘法因子，而不是指数。
Why: 学生只检查外层函数的限制，忘记了内层函数本身就有定义域限制。