有理函数与洞 — AP 微积分预备课程
1. 核心概念：什么是洞？ ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
有理函数被定义为两个多项式的比值$f(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$，其中$N(x)$是分子多项式，$D(x)$是非零分母多项式。本知识点在AP微积分预备课程考试的选择题和自由作答题部分都会考查，属于第一单元，占考试总分的27–31%。
2. 求洞的$x$坐标 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
要找到所有洞的$x$坐标，首先将分子和分母完全分解为线性因子。任何形如$(x-a)$的唯一公共线性因子都会在$x=a$处产生一个洞。分母中不是分子根的根对应垂直渐近线，而非洞。即使$(x-a)$在分子和分母中都带有幂次，它也只会在$x=a$处产生一个洞。
3. 求洞的$y$坐标 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
得到洞的$x$坐标$a$后，$y$坐标等于约去所有公共因子后的化简函数在$x=a$处的值，这等于$\lim_{x \to a} f(x)$，即$x$趋近$a$时函数趋近的值。千万不要将$a$代入原未化简函数，因为这总会得到不定型$\frac{0}{0}$。
4. 区分洞与垂直渐近线 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
AP考试非常常见的题目要求考生对给定有理函数的所有间断点分类。分类规则很简单：完全分解分子和分母后，原分母的任何根如果也是分子的根（即对应公共线性因子）就是洞。原分母的任何根如果不是分子的根就是垂直渐近线。在图像上，洞用空心圆标记，而垂直渐近线用虚线标记。
Common Pitfalls
Why: 学生忘记必须先约去公因子再求值，混淆了不定型$\frac{0}{0}$和洞不存在。
Why: 学生记住了所有间断点都来自分母的根，但混淆了间断点的类型，忘记了公共根是可去间断点。
Why: 学生忘记非线性公因子可以分解为多个线性根，每个根都会产生自己的洞。
Why: 学生混淆了$x=a$处极限存在和函数在$x=a$处有定义这两个概念。
Why: 学生认为公因子的指数会在同一个$x$值产生多个间断点。