多项式与有理表达式的等价表示 — AP 预备微积分
1. 什么是等价表示？ ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
若两个表达式在公共定义域内对所有输入都能得到相同的输出，则二者等价。对于多项式和有理表达式，这意味着我们可以将表达式改写为不同形式（展开式、因式分解式、分解式、化简式），即使代数结构看起来不同，但所有值和定义域规则都保持不变。本主题是AP预备微积分CED中的1.8主题，占考试总分的约7-8%，在选择题和问答题部分均会考查。
2. 等价多项式形式：展开与因式分解 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
多项式最常见的两种等价形式是：标准（展开）形式和实数范围内的完全因式分解形式。
a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0
完全因式分解形式写作：
a(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_k)
其中$r_i$是实根，剩余的因式都是实数范围内不可约的二次式。我们根据问题要求在两种形式间转换：标准形式可以确定首项系数和端行为，而因式分解形式可以很方便地求出根和x轴截距。因式分解的关键步骤总是先提取最大公因式（GCF），再使用特殊乘积公式：
- 平方差公式: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
- 立方和/差公式: $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
- 将$ax^2 + bx + c$形式的二次式因式分解为两个一次二项式
Exam tip: 尝试因式分解高次多项式前一定要先提取最大公因式；如果停留在$3(x^3 - x^2 - 6x)$，在AP考试中会被判定为因式分解不完整。
3. 化简有理表达式与定义域限制 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
有理表达式是两个多项式的比值$\frac{P(x)}{Q(x)}$。化简为等价形式时，我们约去分子和分母的公因式，但必须保留原定义域：任何使原分母为零的输入都仍然需要排除，即使它在化简后的表达式中有定义。
Exam tip: 约去公因式前一定要先找出原分母中所有需要排除的值；如果只列出化简后分母的限制，在问答题中会失分。
4. 假有理形式的多项式除法 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
假有理表达式指分子次数大于等于分母次数的有理表达式。我们可以使用多项式长除法，或对形如$(x - c)$的一次除式使用综合除法，将任意假有理表达式改写为多项式加真有理表达式（余式次数小于分母次数）的等价和形式。
这种形式用于求有理函数的斜渐近线，以及已知一个根时化简高次多项式。
Exam tip: 综合除法仅适用于形如$(x - c)$的一次除式；对高次除式一定要使用长除法，避免计算错误。
5. 部分分式分解 ★★★★☆ ⏱ 5 min
部分分式分解将真有理表达式（分子次数 < 分母次数）改写为多个更简单的、分母为一次因式或不可约二次因式的有理表达式之和的等价形式。分解步骤为先对分母因式分解，然后建立带未知常数的分解式，再求解常数。这是AP考试的考点，也是AP微积分中积分学习的先修内容。
对于不同的一次因式，每个因式对应一个常数项；对于重复一次因式$(ax + b)^n$，你需要为1到n的每一次幂都设置一项。
Exam tip: 对于重复一次因式$(x - a)^n$，不要省略低次幂项；一定要为1到n的每一次幂都包含一项。
6. 概念检验 ★★★☆☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生认为约去公因式后两个表达式在处处都相等，忘记$x=4$在原表达式中无定义
Why: 学生提取最大公因式后，忘记平方差还可以继续分解
Why: 学生记住综合除法是'简单除法方法'，但忘记它仅适用于一次除式
Why: 学生忘记重复一次因式要求为每个1到n次幂都设一项
Why: 学生混淆了复数范围内因式分解和实数范围内因式分解，而AP几乎总是要求后者
Why: 学生认为只有约去公因式后才需要定义域限制，除法后不需要