协同变化（函数性质） — AP 微积分预备
1. 平均变化率与瞬时变化率 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
分析协同变化（共变）的基础是量化：对于给定的输入变化，函数输出的变化量是多少。这一概念连接了函数性质的图形、代数和数值描述。
\text{AROC} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}
AROC 等于连接点 $(a, f(a))$ 和 $(b, f(b))$ 的割线斜率，描述整个区间上的平均行为。
\text{IROC} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)
2. 增减性与局部极值 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
我们利用瞬时变化率（一阶导数）的符号来描述函数在区间上是递增还是递减。
- 若对所有 $x \in I$ 都有 $f'(x) > 0$，则函数在区间 $I$ 上 **递增**：对任意 $x_1 < x_2$，满足 $f(x_1) < f(x_2)$。
- 若对所有 $x \in I$ 都有 $f'(x) < 0$，则函数在区间 $I$ 上 **递减**：对任意 $x_1 < x_2$，满足 $f(x_1) > f(x_2)$。
对于 $n$ 次多项式，局部极值（转折点）的最大数量是 $n-1$。
3. 凹凸性与拐点 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
凹凸性描述变化率本身如何随输入变化，因此它是协同变化的核心概念：它是变化率的变化。
- 若对所有 $x \in I$ 都有 $f''(x) > 0$，则函数在区间 $I$ 上 **凹向上**：随着 $x$ 增大，切线斜率递增，曲线向上弯曲。
- 若对所有 $x \in I$ 都有 $f''(x) < 0$，则函数在区间 $I$ 上 **凹向下**：随着 $x$ 增大，切线斜率递减，曲线向下弯曲。
$f''(x)$ 的零点不自动就是拐点。对于 $n$ 次多项式，拐点的最大数量是 $n-2$。
4. AP 风格练习 ★★★★☆ ⏱ 6 min
Common Pitfalls
Why: 学生默认二阶导数的任意零点都是拐点，不检查符号是否改变。对于 $f(x)=x^4$，$f''(x)=12x^2$ 在 $x=0$ 两侧都为正，因此凹凸性没有改变。
Why: 学生混淆了区间递增和全局递增，忽略了 $f(1) = -1 < f(3) = 1$，这违反了递增函数的定义。
Why: 学生混淆了分子减法的顺序，导致符号错误。
Why: 学生忘记 $x=2$ 是可去间断点（洞），函数在该点无定义，因此不能成为极值点。
Why: 学生混淆了凹凸性（变化率的变化）和增减性（变化率本身的符号）。