同步变化（函数性质）

AP 预备微积分· 第一单元 · 多项式与有理函数· 11 分钟阅读

1. 函数的定义：定义域、值域与变量★☆☆☆☆⏱ 3 min

大多数有意义的量会共同变化。往花瓶里倒水，注入的体积增加时水面高度也会上升；两个量同步变化。函数是我们精确定义这种配对关系的方式：它为每个输入分配一个且仅一个输出。

📘 定义

函数

f(x)

将每个输入值映射到恰好一个输出值的关系。如果单个输入可以给出两个不同的输出，那么该关系就不是函数。

📘 定义

定义域与值域

定义域是函数接受的所有输入值的集合。值域是函数产生的所有输出值的集合。

输入是自变量（由你选择）；输出是因变量（它的值取决于输入）。我们写 $f (x)$ 来表示法则 $f$ 分配给输入 $x$ 的输出。

📘 定义

相等函数

两个函数 $f$ 和 $g$ 相等当且仅当它们具有相同的定义域，并且对于该定义域中的每个输入 $a$ ，它们给出相同的输出： $f (a) = g (a)$ 。公式相同但定义域不同意味着函数不相等。

📐 例题

某体育场每人最多可购买4张票，每张票价25美元。购买 $n$ 张票的总费用为 $C (n) = 25 n$ 。识别自变量和因变量，并写出定义域和值域。

1
你决定购买多少张票，费用由这个选择决定。因此输入 $n$ 是自变量，输出 $C$ 是因变量。
2
你可以购买的票数是从0到上限4的整数。定义域是所有允许的输入组成的集合：
3
$\text{domain} = \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}$
4
将法则应用于每个输入得到输出 $C (0) = 0, C (1) = 25, C (2) = 50, C (3) = 75, C (4) = 100$ 。值域是所有输出组成的集合：
5
$\text{range} = \{0,\ 25,\ 50,\ 75,\ 100\}$
6
由于只有整数张票才有实际意义，定义域和值域都是离散集合，而不是区间。

2. 四种表示法、像与原像★★☆☆☆⏱ 3 min

函数法则——即每个输入与输出的配对方式——可以用四种等价的方式展示。它们是同一个函数的四种视图，本课程的重要内容之一就是能够在它们之间流畅转换。

📘 定义

函数的四种表示法

图形法（由点 $(x, f (x))$ 组成的曲线）、数值法（输入-输出配对的表格）、解析法（例如 $f (x) = x^{2}$ 的方程）和口头法（描述配对关系的语句）。

📘 定义

像

输入值 $a$ 的像是法则分配给它的唯一输出，即 $f (a)$ 。定义域中的每个输入都恰好有一个像。

📘 定义

原像

输出值 $y$ 的原像是法则映射到 $y$ 的所有输入的集合——所有满足 $f (x) = y$ 的 $x$ 。原像可以不包含任何输入、包含一个输入或多个输入。

📐 例题

函数 $f$ 由下表以数值形式给出。求(a) $- 2$ 的像，(b) $1$ 的原像，以及(c) $3$ 的原像。

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

1
(a) $- 2$ 的像就是与输入 $- 2$ 配对的输出。读取 $x = - 2$ 对应的列：
2
$f(-2) = 4$
3
(b) $1$ 的原像是所有输出为 $1$ 的输入。扫描底行找到值 $1$ ，它出现在 $x = - 1$ 和 $x = 1$ 下方：
4
$\text{preimage of } 1 = \{-1,\ 1\}$
5
注意原像是一个包含两个输入的集合——这与像完全不同，像始终是单个值。
6
(c) $3$ 的原像是所有输出为 $3$ 的输入。底行中没有等于 $3$ 的条目，因此没有输入映射到它：
7
$\text{preimage of } 3 = \{\ \}\ \text{(空集)}$

3. 递增与递减：比较输出值★★☆☆☆⏱ 3 min

为了描述两个量如何同步变化，我们首先提出一个纯定性的问题：当输入增加时，输出是上升还是下降？我们通过直接比较输出值来回答这个问题——暂时不需要衡量变化的快慢（这是下一个主题的内容）。

📘 定义

在区间上递增

如果对于定义域某区间内的所有 $a$ 和 $b$ ，当 $a < b$ 时都有 $f (a) < f (b)$ ，则函数在该区间上递增，即更大的输入始终给出更大的输出。

📘 定义

在区间上递减

如果对于定义域某区间内的所有 $a$ 和 $b$ ，当 $a < b$ 时都有 $f (a) > f (b)$ ，则函数在该区间上递减，即更大的输入始终给出更小的输出。

\text{increasing:}\ \ a<b \Rightarrow f(a)<f(b) \qquad \text{decreasing:}\ \ a<b \Rightarrow f(a)>f(b)

📐 例题

一杯茶正在冷却。下表给出了 $m$ 分钟后茶的温度 $T$ （单位：°C）。 $T$ 在哪个区间上是 $m$ 的递减函数？通过比较输出值给出证明。

$m$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
$T$	$85$	$68$	$57$	$51$	$51$

1
从左到右读取输出并依次比较： $85 > 68 > 57 > 51$ 。
2
从 $m = 0$ 到 $m = 6$ ，每个更大的输入都给出严格更小的输出，这完全符合递减的定义：
3
$0<2<4<6 \ \Rightarrow\ T(0) > T(2) > T(4) > T(6)$
4
因此 $T$ 在区间 $0 \leq m \leq 6$ 上递减。
5
从 $m = 6$ 到 $m = 8$ ，输出保持为 $51$ （ $T (6) = T (8)$ ），因此在区间 $6 \leq m \leq 8$ 上函数是常数，既不递增也不递减。

4. 把图像画出来：凹凸性与零点★★☆☆☆⏱ 4 min

图像就是把所有输入—输出对画在平面上，所以它一眼就能看出两个量是怎样一起变化的。这也意味着：一段文字描述本身就足以画出图像的形状——不需要先有解析式。

📐 例题

把水匀速倒进三个花瓶：(a) 直壁的；(b) 越往上越宽的；(c) 越往上越窄的。分别描述水面高度 $H$ 关于倒入体积 $V$ 的图像。

1
(a) 直壁：每毫升水抬高的高度都一样，所以图像是一条上升的直线。
2
(b) 上宽：瓶身变宽后，每多倒一毫升水会摊开，抬高的高度比前一毫升更少。图像仍在上升，但越来越平缓。
3
(c) 上窄：每多倒一毫升水被挤进更小的截面，抬高的高度比前一毫升更多。图像上升得越来越陡。
4
三种情况都是递增的——水越多水面一定越高。差别在于高度变化得有多快，而正是这一点决定了曲线的弯法。

最后这个差别有专门的名字。描述输出变化得有多快是主题 1.2 的内容；这里我们只需要「变化率随输入增大而变大还是变小」这个直觉。

📘 定义

上凹（concave up）

函数图像在变化率递增的区间上是上凹的——每一步输入抬高输出的幅度都比前一步更大。上面的花瓶 (c) 就是上凹。

📘 定义

下凹（concave down）

函数图像在变化率递减的区间上是下凹的——每一步输入抬高输出的幅度都比前一步更小。上面的花瓶 (b) 就是下凹。

还有一个特征可以直接从图上读出来：图像与横轴相交的地方。

📘 定义

函数的零点

f(a)=0 \iff 点\ (a,\,0)\ 在图像上

图像与 $x$ 轴相交的位置，恰好是输出值为零的地方。对应的那些输入值就叫作函数的零点。

📐 例题

前面算过：对 $f (x) = x^{2} - 1$ ，输出 $0$ 的原像是 ${- 1, 1}$ 。这告诉了我们关于图像的什么信息？

1
$0$ 的原像就是所有使输出为 $0$ 的输入，也就是 $f (- 1) = 0$ 且 $f (1) = 0$ 。
2
输出为 $0$ 意味着这个点落在 $x$ 轴上，所以图像经过 $(- 1, 0)$ 和 $(1, 0)$ 。
3
答案： $f$ 的零点是 $- 1$ 和 $1$ ，它们正是图像与 $x$ 轴的交点。

5. AP 风格练习★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 快速检测

用这道选择题测试你的理解：

函数 $h$ 由下表给出。 $h$ 在哪个区间上递增？
$x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$h (x)$ $12$ $7$ $4$ $7$ $12$
- $1 \leq x \leq 3$
- $3 \leq x \leq 5$
- $1 \leq x \leq 5$
- $2 \leq x \leq 4$
显示答案
1 —
从 $x = 3$ 到 $x = 5$ 输出值上升： $4 < 7 < 12$ ，因此对于任意 $a < b$ 都有 $h (a) < h (b)$ ——满足递增。在 $1 \leq x \leq 3$ 上输出值下降（ $12 > 7 > 4$ ），因此该区间是递减的，而完整区间 $1 \leq x \leq 5$ 同时包含两种性质。

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$h (x)$	$12$	$7$	$4$	$7$	$12$

📐 例题

将水匀速倒入空花瓶中。设 $H$ 为水面高度（单位：厘米）， $V$ 为注入的体积（单位：毫升）。(a) 哪个是自变量，哪个是因变量？(b) 解释为什么 $H$ 是 $V$ 的递增函数。(c) 花瓶总容量为500毫升，装满时高度为20厘米，写出 $H (V)$ 的定义域和值域。

1
(a) 你控制注入的水量，水面高度随之变化。因此 $V$ 是自变量， $H$ 是因变量。
2
(b) 加入更多水只会抬升水面高度。因此只要 $V_{1} < V_{2}$ ，更高的水柱就会给出 $H (V_{1}) < H (V_{2})$ 。这符合定义 $a < b \Rightarrow f (a) < f (b)$ ，因此 $H$ 在整个定义域上递增。
3
(c) 体积从空到满，范围是0到500毫升，因此定义域是 $0 \leq V \leq 500$ 。
4
对应的高度从0到20厘米，因此值域是 $0 \leq H \leq 20$ 。

📐 例题

一个函数被口头描述为：“输出比输入的平方小1”。(a) 以解析形式写出它。(b) 给出输入为 $- 2, - 1, 0, 1, 2$ 时的数值表示。(c) 求输出值 $0$ 的原像。

1
(a) “输入的平方”是 $x^{2}$ ；“小1”就是减去1：
2
$f(x) = x^2 - 1$
3
(b) 在每个输入处计算法则的值，构建表格：
4
$f(-2)=3,\ \ f(-1)=0,\ \ f(0)=-1,\ \ f(1)=0,\ \ f(2)=3$
5
(c) $0$ 的原像是所有输出为 $0$ 的输入。从表格中（或解方程 $x^{2} - 1 = 0$ ）可得，它们是 $x = - 1$ 和 $x = 1$ ：
6
$\text{preimage of } 0 = \{-1,\ 1\}$

6. 常见陷阱

错误做法:

将输出的原像报告为单个输入值。

原因:

原像是映射到目标输出的所有输入组成的集合。对于 $f (x) = x^{2}$ ， $9$ 的原像是 ${- 3, 3}$ ，而不仅仅是 $3$ 。

正确做法:

列出所有输出等于目标值的输入；原像可以包含零个、一个或多个元素。

错误做法:

认为 $x = y^{2}$ 是关于 $x$ 的函数。

原因:

输入 $x = 4$ 会给出两个输出 $y = 2$ 和 $y = - 2$ ，但函数必须为每个输入分配恰好一个输出。

正确做法:

在将关系称为函数之前，先检查每个输入是否只产生一个输出（从图形上看，没有竖线与图像相交两次）。

错误做法:

从输出侧读取定义域（或从输入侧读取值域）。

原因:

定义域和值域被混淆了：定义域是输入（自变量）的集合，值域是输出（因变量）的集合。

正确做法:

牢记“输入进，输出出”：收集所有输入得到定义域，收集所有输出得到值域。

错误做法:

因为代数化简后形式相同，就宣称 $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ 和 $g (x) = x + 2$ 是相等函数。

原因:

$f$ 在 $x = 2$ 处无定义，而 $g$ 在该点有定义，因此两个函数的定义域不同。

正确做法:

只有当两个函数具有相同的定义域并且在每个输入处的取值都相等时，它们才是相等的；不要只比较公式，还要检查定义域。

错误做法:

仅仅因为 $f (0) < f (4)$ 就得出 $f$ 在 $[0, 4]$ 上递增的结论。

原因:

递增要求区间内的每一对 $a < b$ 都满足 $f (a) < f (b)$ ；两个匹配的端点可能隐藏中间的下降段。

正确做法:

验证比较关系在整个区间上都成立，永远不要将不连续的递增/递减区间合并为一个结论。

7. 速查表

概念	定义 / 法则	关键说明
函数	每个输入映射到恰好一个输出	如果一个输入给出两个输出则不成立（竖线检验）
定义域 / 值域	定义域 = 所有输入；值域 = 所有输出	定义域输入法则；值域从法则输出
自变量 / 因变量	输入 = 自变量；输出 = 因变量	输出值取决于选择的输入
相等函数 $f = g$	定义域相同且对所有 $a$ 都有 $f (a) = g (a)$	公式相同但定义域不同 ⇒ 不相等
四种表示法	图形、数值、解析、口头	同一法则的四种视图；可在之间转换
$a$ 的像	$f (a)$ — 输入 $a$ 对应的唯一输出	始终恰好是一个值
$y$ 的原像	所有满足 $f (x) = y$ 的输入 $x$	是一个集合：可以为空、一个或多个元素
在区间 $I$ 上递增	对 $I$ 中所有 $a < b$ ， $f (a) < f (b)$	比较输出值；必须对每一对都成立
在区间 $I$ 上递减	对 $I$ 中所有 $a < b$ ， $f (a) > f (b)$	比较输出值；必须对每一对都成立
在区间 $I$ 上为常数	对 $I$ 中所有 $a, b$ ， $f (a) = f (b)$	既不递增也不递减
上凹（concave up）	变化率递增	每一步输入抬高输出的幅度比前一步更大
下凹（concave down）	变化率递减	每一步输入抬高输出的幅度比前一步更小
函数的零点	使 $f (a) = 0$ 的输入 $a$	正是图像与 $x$ 轴的交点

下一步

现在你能描述函数的输出随输入增大是升还是降，能在四种表示中说出定义域、值域、像与原像，也能从图像读出凹凸性和零点。接下来自然要问它变化得有多快——那就是主题 1.2《变化率》，它给出区间上的平均变化率，并让凹凸性的说法变得精确。