同步变化（函数性质） — AP 预备微积分

1. 函数的定义：定义域、值域与变量 ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min

大多数有意义的量会**共同**变化。往花瓶里倒水，注入的体积增加时水面高度也会上升；两个量*同步*变化。**函数**是我们精确定义这种配对关系的方式：它为每个输入分配一个且仅一个输出。

输入是**自变量**（由你选择）；输出是**因变量**（它的值取决于输入）。我们写 $f(x)$ 来表示法则 $f$ 分配给输入 $x$ 的输出。

2. 四种表示法、像与原像 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

**函数法则**——即每个输入与输出的配对方式——可以用四种等价的方式展示。它们是*同一个*函数的四种视图，本课程的重要内容之一就是能够在它们之间流畅转换。

3. 递增与递减：比较输出值 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

为了描述两个量如何同步变化，我们首先提出一个纯*定性*的问题：当输入增加时，输出是**上升**还是**下降**？我们通过直接**比较输出值**来回答这个问题——暂时不需要衡量变化的快慢（这是下一个主题的内容）。

\text{increasing:}\ \ a<b \Rightarrow f(a)<f(b) \qquad \text{decreasing:}\ \ a<b \Rightarrow f(a)>f(b)

4. 把图像画出来：凹凸性与零点 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

图像就是把所有输入—输出对画在平面上，所以它一眼就能看出两个量是怎样一起变化的。这也意味着：**一段文字描述**本身就足以画出图像的形状——不需要先有解析式。

最后这个差别有专门的名字。描述输出**变化得有多快**是主题 1.2 的内容；这里我们只需要「**变化率**随输入增大而变大还是变小」这个直觉。

还有一个特征可以直接从图上读出来：图像与横轴相交的地方。

5. AP 风格练习 ★★☆☆☆ ⏱ 5 min