多项式与有理函数 (Polynomial and Rational Functions) — AP Precalculus Precalc 学习指南

适合谁：AP Precalculus 参加 AP Precalculus 的考生。

覆盖内容：多项式端点行为与零点重数、有理函数渐近线、图像变换、多项式/有理方程与不等式求解四大核心子主题

前置知识：Algebra 1 & 2、基础几何与三角。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 AP Precalculus 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 College Board 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 College Board 官方 mark scheme。

1. 什么是多项式与有理函数？

多项式函数（polynomial function）是形如 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ 的函数，其中 $n$ 为非负整数，$a_n$ 为非零首项系数，$n$ 为多项式的次数。有理函数（rational function）是两个多项式的比值，形式为 $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $Q(x)$ 不恒为0。

本模块在AP Precalculus考试中占比18%-22%，是后续极限、导数等微积分内容的核心基础，选择题和FRQ都会直接考察。

2. 多项式性质：端点行为、零点与重数

端点行为（end behaviour）

多项式的端点走向完全由首项 $a_n{x}^n$ 决定：

• 若次数 $n$ 为偶数：$x\to \pm \infty$ 时，$f(x)$ 符号与 $a_n$ 一致，$a_n>0$ 时两端向上，$a_n<0$ 时两端向下
• 若次数 $n$ 为奇数：$x\to +\infty$ 时 $f(x)$ 与 $a_n$ 同号，$x\to -\infty$ 时符号相反，$a_n>0$ 时右上左下，$a_n<0$ 时左上右下 范例：$f(x)=-3x^5+2x^2-7$ 首项为 $-3x^5$，次数5为奇数、首项系数为负，因此 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to -\infty$，$x\to -\infty$ 时 $f(x)\to +\infty$。

零点（zero）与重数（multiplicity）

零点是满足 $f(x)=0$ 的 $x$ 值，对应因式的指数就是该零点的重数：

• 重数为奇数：图像穿过x轴
• 重数为偶数：图像接触x轴后反弹，不穿过 范例：$f(x)=(x-2{)}^2(x+3{)}^3$ 的零点为 $x=2$（重数2，反弹）、$x=-3$（重数3，穿过）。

3. 有理函数：垂直与水平渐近线

渐近线（asymptote）是函数图像无限接近但不相交的直线，是AP选择题的高频考点。

垂直渐近线（vertical asymptote）

将分子分母约分后，令分母为0的 $x=a$ 就是垂直渐近线，此时 $x\to a^{+}$ 或 $x\to a^{-}$ 时 $f(x)\to \pm \infty$。注意：如果分子分母有公因式，公因式的零点是「洞」不是渐近线。 范例：$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$ 约分后为 $x+1(x\ne 1)$，因此只有洞 $x=1$，没有垂直渐近线。

水平渐近线（horizontal asymptote）

由分子 $P(x)$ 次数 $n$ 和分母 $Q(x)$ 次数 $m$ 决定：

• $n<m$：$y=0$ 为水平渐近线
• $n=m$：$y=\frac{\text{分子首项系数}}{\text{分母首项系数}}$ 为水平渐近线
• $n>m$：无水平渐近线 范例：$f(x)=\frac{2x^2+5x-1}{3x^2+4}$ 分子分母次数均为2，因此水平渐近线为 $y=\frac{2}{3}$。

4. 图像变换（Graphing transformations）

所有多项式与有理函数的图像变换都符合统一规则：对于基础函数 $f(x)$，变换后的函数为 $g(x)=a\cdot f(b(x-h))+k$：

• $a$：$|a|>1$ 垂直拉伸，$0<|a|<1$ 垂直压缩，$a<0$ 沿x轴翻转
• $b$：$|b|>1$ 水平压缩，$0<|b|<1$ 水平拉伸，$b<0$ 沿y轴翻转
• $h$：$h>0$ 右移 $h$ 单位，$h<0$ 左移 $|h|$ 单位
• $k$：$k>0$ 上移 $k$ 单位，$k<0$ 下移 $|k|$ 单位 范例：将 $f(x)=x^3$ 变换为 $g(x)=-2(x+1{)}^3+3$，步骤为：左移1单位→垂直拉伸2倍→沿x轴翻转→上移3单位。

5. 多项式与有理方程、不等式求解

方程求解

• 多项式方程：优先因式分解找零点，高次多项式可用有理根定理试根（可能的有理根为常数项因数/首项系数因数）
• 有理方程：两边乘最简公分母消去分母，最后必须验根，排除使原分母为0的增根

不等式求解

无论多项式还是有理不等式，都推荐用符号分析法：

1. 找到所有临界点：多项式的零点、有理函数的零点和垂直渐近线
2. 用临界点将实数轴分为若干区间，每个区间任选一个测试点代入判断符号
3. 结合不等号方向合并解集，注意有理不等式禁止直接乘分母（无法确定分母符号） 范例：解 $\frac{x-2}{x+1}\ge 0$，临界点为 $x=2$（零点）、$x=-1$（渐近线），测试得 $x<-1$ 时为正，$-1<x<2$ 时为负，$x>2$ 时为正，因此解集为 $x<-1$ 或 $x\ge 2$。

6. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误：判断水平渐近线时记混分子分母次数，分子次数高于分母时强行写y=0。原因：死记硬背规则不理解推导逻辑。正确做法：先计算分子分母次数，严格按3种情况对应，n>m时没有水平渐近线。
2. 错误：解有理不等式时两边直接乘分母，忽略分母符号导致不等号方向错误。原因：沿用等式的消元习惯，忘记不等式乘负数要变号。正确做法：统一用符号分析法，不要直接乘分母。
3. 错误：判断零点重数时没有完全因式分解，比如把 $f(x)=x^2-4$ 的零点 $x=2$ 重数当成2。原因：没有将多项式拆为一次因式就直接看指数。正确做法：先因式分解为一次因式的乘积，再看对应因式的指数。
4. 错误：找垂直渐近线时没有约分，把公因式的零点当成渐近线。原因：忽略「洞」的存在。正确做法：先约去分子分母的公因式，再找约分后分母的零点作为垂直渐近线。

7. 练习题 (AP Precalculus 风格)

题1

已知多项式 $f(x)=-2x^4+5x^3-7x+9$，判断其端点行为。 解答：首项为 $-2x^4$，次数4为偶数，首项系数为负，因此 $x\to \pm \infty$ 时，$f(x)\to -\infty$。

题2

求有理函数 $f(x)=\frac{3x^2-2x-1}{x^2-9}$ 的所有渐近线。 解答：

1. 因式分解：分子为 $(3x+1)(x-1)$，分母为 $(x-3)(x+3)$，无公因式
2. 垂直渐近线：分母零点为 $x=3$、$x=-3$，因此VA为 $x=3,x=-3$
3. 水平渐近线：分子分母次数均为2，首项系数比为 $\frac{3}{1}=3$，因此HA为 $y=3$

题3

解不等式 $(x-1{)}^2(x+2)<0$。 解答：

1. 临界点：$x=1$（重数2）、$x=-2$（重数1）
2. 分区间测试：

• $x<-2$：$(-{)}^2\times (-)=负$，满足不等式
• $-2<x<1$：$(-{)}^2\times (+)=正$，不满足
• $x>1$：$(+{)}^2\times (+)=正$，不满足

3. 临界点处等号不成立，因此解集为 $x<-2$

8. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

9. 接下来怎么学

本模块是AP Precalculus的核心基础，后续的指数对数函数、三角函数的极限与图像分析，以及AP微积分中的导数、积分运算都要用到多项式与有理函数的性质，掌握好这部分能大幅降低后续内容的学习难度。AP考试中本模块经常和极限、函数分析结合出综合题，你可以多刷官方真题的相关题型巩固知识点。

如果你在练习真题时遇到任何相关问题，都可以随时向小欧提问，我们会为你提供针对性的讲解和练习资源。