行星和卫星的轨道

AP 物理 C：力学· AP 物理 C：力学 CED — 万有引力· 14 分钟阅读

1. 圆轨道与向心力平衡★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

轨道

$M$ = 中心质量, $m$ = 轨道质量, $r$ = 质心间距

天体或人造物体仅在大质量中心天体的引力作用下运动的弯曲路径，由于 $M ≫ m$ ，假设中心天体静止。

例:

绕地球运行的人造卫星、绕太阳运行的地球

对于圆轨道，中心天体的引力恰好提供维持匀速圆周运动所需的向心力。由于两天体质量差异很大，我们可以忽略中心天体绕共同质心的加速度。

🔬 推导

目标:

推导圆轨道的轨道速度和周期

起点:

牛顿第二定律（圆周运动形式）

1
合引力等于质量乘以向心加速度：
2
$F_{net} = F_g = m a_c$
3
代入引力和向心加速度的表达式：
4
$\frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$
5
轨道天体质量 $m$ 被约去，得到轨道速度的最终表达式：
6
$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$
7
代入 $v = \frac{2 π r}{T}$ 求解轨道周期：
8
$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M}$

结果:

轨道速度与轨道天体的质量无关，且随轨道半径增大而减小。

📐 例题

一颗小型人造卫星在火星表面上方200 km高度处绕火星运行。火星质量为 $6.42 \times 1 0^{23}$ kg，半径为 $3.39 \times 1 0^{6}$ m。求卫星的轨道速度？

1
首先，将火星半径加上卫星的高度，得到质心轨道半径：
2
$r = R_{\text{Mars}} + h = 3.39 \times 10^6 + 2.00 \times 10^5 = 3.59 \times 10^6 \text{ m}$
3
使用圆轨道速度的力平衡结果：
4
$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$
5
代入数值计算根号内的分式：
6
$\frac{(6.67 \times 10^{-11})(6.42 \times 10^{23})}{3.59 \times 10^6} \approx 1.19 \times 10^7$
7
开平方得到最终速度：
8
$v = \sqrt{1.19 \times 10^7} \approx 3450 \text{ m/s} = 3.45 \text{ km/s}$

2. 开普勒行星运动定律★★★☆☆⏱ 4 min

开普勒在牛顿提出引力理论之前，就从观测数据中总结出了三条经验定律，而牛顿万有引力定律证实，对于中心天体质量占主导的二体轨道，这三条定律全部成立。

轨道定律：所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动，中心天体位于椭圆的一个焦点上。偏心率 $e$ 描述轨道形状： $e = 0$ = 正圆， $0 < e < 1$ = 束缚椭圆轨道， $e \geq 1$ = 非束缚轨道。最近距离（近日点/近地点）为 $r_{p} = a (1 - e)$ ，最远距离（远日点/远地点）为 $r_{a} = a (1 + e)$ ，其中 $a$ = 半长轴。
面积定律：连接轨道天体和中心天体的连线在相等时间内扫过相等的面积。这是角动量守恒的直接结果：引力对中心天体的力矩为零，因此 $L$ 为常数，所以半径越小，速度越大。
周期定律：轨道周期的平方与半长轴的立方成正比： $T^{2} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{GM}$ ，这是圆轨道结果的推广（圆轨道中 $a = r$ ）。

📐 例题

一颗小行星绕太阳沿椭圆轨道运行，近日点距离为1 AU，远日点距离为7 AU（1 AU = 地球的半长轴，地球轨道周期为1年）。求：(a) 小行星的半长轴；(b) 小行星的轨道周期；(c) 小行星近日点速度与远日点速度之比。

1
(a) 由近日点和远日点距离计算半长轴：
2
$a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4 \text{ AU}$
3
(b) 对于绕同一中心天体运行的天体，使用开普勒第三定律比例式：
4
$\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3} \implies \frac{(1 \text{ yr})^2}{(1 \text{ AU})^3} = \frac{T^2}{(4 \text{ AU})^3} \implies T^2 = 64 \implies T = 8 \text{ 年}$
5
(c) 使用角动量守恒（近日点/远日点处速度垂直于半径）：
6
$m r_p v_p = m r_a v_a \implies \frac{v_p}{v_a} = \frac{r_a}{r_p} = \frac{7}{1} = 7$

3. 轨道能量与逃逸速度★★★☆☆⏱ 3 min

对于所有束缚轨道（圆轨道或椭圆轨道， $0 \leq e < 1$ ），总机械能始终为负。我们将引力势能 $U = 0$ 定义在 $r \to \infty$ 处，因此 $U$ 为负值，且其大小是轨道动能的两倍。

🔬 推导

目标:

推导总轨道能量和逃逸速度

1
对于圆轨道，将 $v^{2} = \frac{GM}{r}$ 代入动能表达式：
2
$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{2 r}$
3
加上引力势能 $U = - \frac{GM m}{r}$ ，得到圆轨道的总能量：
4
$E = K + U = - \frac{G M m}{2 r}$
5
对于椭圆轨道，将 $r$ 替换为半长轴 $a$ ，因此总能量仅取决于 $a$ ，与偏心率无关：
6
$E = - \frac{G M m}{2 a}$
7
逃逸速度是脱离引力所需的最小速度，此时 $r \to \infty$ 处总能量为零：
8
$\frac{1}{2} m v_{esc}^2 - \frac{G M m}{r} = 0 \implies v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} = \sqrt{2} v_{circular}$

结果:

相同半径处，逃逸速度始终大于圆轨道速度，且与轨道天体质量无关。

📐 例题

近地轨道（地球表面上方400 km处）的逃逸速度是多少？地球质量为 $5.97 \times 1 0^{24}$ kg，半径为 $6.37 \times 1 0^{6}$ m。

1
计算质心间距：
2
$r = R_E + h = 6.37 \times 10^6 + 4.00 \times 10^5 = 6.77 \times 10^6 \text{ m}$
3
使用逃逸速度公式：
4
$v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M_E}{r}}$
5
代入数值：
6
$\frac{2(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})}{6.77 \times 10^6} \approx 1.18 \times 10^8$
7
开平方得到最终速度：
8
$v_{esc} = \sqrt{1.18 \times 10^8} \approx 10900 \text{ m/s} = 10.9 \text{ km/s}$

4. AP风格练习例题★★★★☆⏱ 3 min

📐 例题

质量为 $m$ 的卫星绕质量为 $M$ 的行星做半径为 $r$ 的圆周运动（ $M ≫ m$ ）。若定义 $U = 0$ 在 $r \to \infty$ 处，卫星在该轨道的总机械能是多少？

(A) $- \frac{GM m}{r}$ (B) $- \frac{GM m}{2 r}$ (C) $\frac{GM m}{2 r}$ (D) $\frac{GM m}{r}$

1
由圆轨道的力平衡计算动能：
2
$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{G M}{r}\right) = \frac{G M m}{2 r}$
3
零势能在无穷远约定下的引力势能：
4
$U = - \frac{G M m}{r}$
5
相加得到总能量：
6
$E = K + U = \frac{G M m}{2r} - \frac{G M m}{r} = - \frac{G M m}{2r}$
7
束缚轨道的总能量为负，符合预期，因此正确答案是 (B)。

📐 例题

一颗1000 kg的卫星从半径为 $2 r_{0}$ 的圆轨道移动到半径为 $3 r_{0}$ 的圆轨道绕地球运行（地球质量为 $M$ ， $M ≫ m$ ）。(a) 推导卫星动能变化的表达式。(b) 推导总机械能变化的表达式。(c) 解释为什么即使轨道速度减小，移动到更高轨道仍然需要注入能量。

1
(a) 圆轨道的动能为 $K = \frac{GM m}{2 r}$ ，计算变化量：
2
$\Delta K = K_f - K_i = \frac{G M m}{2(3 r_0)} - \frac{G M m}{2(2 r_0)} = - \frac{G M m}{12 r_0}$
3
动能减少了 $\frac{GM m}{12 r _{0}}$ 。
4
(b) 圆轨道的总能量为 $E = - \frac{GM m}{2 r}$ ，计算变化量：
5
$\Delta E = E_f - E_i = - \frac{G M m}{2(3 r_0)} - \left(- \frac{G M m}{2(2 r_0)}\right) = + \frac{G M m}{12 r_0}$
6
总能量增加了 $\frac{GM m}{12 r _{0}}$ 。
7
(c) 虽然动能减小，但引力势能的增加量是动能减少量大小的两倍： $Δ U = + \frac{GM m}{6 r _{0}} = 2∣Δ K ∣$ 。总能量变化为正，因此需要卫星发动机输入能量。

5. 常见陷阱

错误做法:

在计算轨道速度或逃逸速度时，将表面上方高度 $h$ 用作 $r$ 。

原因:

题目通常给出海拔高度，学生会把地表上方高度和所有引力公式要求的质心间距混淆。

正确做法:

在给出海拔高度的题目中，一定要先写出 $r = R_{central} + h$ ，代入公式前确认 $r$ 的取值正确。

错误做法:

声称束缚椭圆轨道的总机械能为正。

原因:

学生记得动能是正的，却忘记束缚轨道中引力势能是负的，且绝对值更大。

正确做法:

对于任何闭合束缚轨道 ( $e < 1$ )，始终记住 $E = - \frac{GM m}{2 a} < 0$ ，因此总能量永远为负。

错误做法:

使用开普勒第三定律的比例形式 ( $T^{2} \propto a^{3}$ ) 比较绕不同中心天体运行的天体周期。

原因:

该比例关系仅在中心天体质量 $M$ 相同时成立，因为比例常数取决于 $M$ 。

正确做法:

比例形式仅可用于绕同一中心天体运行的天体；当中心天体质量不同时，始终使用完整公式 $T^{2} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{GM}$ 。

错误做法:

在开普勒第三定律或总能量计算中使用半短轴而非半长轴。

原因:

学生混淆椭圆两个轴的定义。

正确做法:

如果给了你近心点和远心点距离，始终用 $a = \frac{r _{p} + r _{a}}{2}$ 计算半长轴，避免轴定义的混淆。

错误做法:

将逃逸速度写为 $v_{esc} = \frac{GM}{r}$ ，和圆轨道速度相同。

原因:

学生忘记能量推导中的因子2，混淆了两个公式。

正确做法:

始终记住相同半径处 $v_{esc} = 2 v_{circular}$ ，因此逃逸速度始终大于圆轨道速度。

6. 速查表

类别	公式	说明
圆轨道速度	$v = \frac{GM}{r}$	与轨道天体质量 $m$ 无关； $r$ = 质心间距
开普勒第三定律（通用）	$T^{2} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{GM}$	$a$ = 半长轴；适用于所有束缚轨道
拱点半径	$r_{p} = a (1 - e), r_{a} = a (1 + e)$	$e$ = 偏心率； $e = 0$ = 圆， $0 < e < 1$ = 束缚椭圆
拱点角动量关系	$r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a}$	成立原因是引力力矩为零；拱点处 $v ⊥ r$
总轨道能量	$E = - \frac{GM m}{2 a}$	束缚轨道总能量恒为负；圆轨道中 $a = r$
逃逸速度	$v_{esc} = \frac{2 GM}{r}$	距离 $r$ 处的最小逃逸速度； $v_{esc} = 2 v_{circular}$
开普勒第二定律	$\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} = constant$	相等时间内扫过相等面积；是角动量守恒的结果

下一步

本主题为AP物理C：力学中所有轨道动力学问题奠定了基础，这类问题是常见的多分自由问答题，会涉及多个单元的概念。掌握本核心内容后，你将把引力能量概念拓展到延展天体和引力势，解决更复杂的轨道转移和引力弹弓问题，这些问题都直接建立在你在此学到的力平衡和能量关系之上。本主题还连接了课程中中心力运动和能量守恒的大主题，将之前单元的圆周运动和角动量内容串联起来。掌握这些核心关系是正确求解更高级引力问题的必要条件。