质心 — AP 物理 C：力学
1. 质心的核心定义 ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min
质心（COM，在均匀重力场中常称为重心，是AP考试中常见的同义词）是质点系中一个特殊点，分析平动时可将系统的总质量看作全部集中在该点。根据AP物理C：力学CED，该主题占考试分值的1-4%，会同时出现在选择题和自由解答题部分，几乎总是作为动量、转动或平衡问题的基础步骤。
质心的核心直观含义是，它是粒子位置按质量加权的平均值：质量更大的粒子会将质心拉得离自己更近，而低质量粒子影响很小。和几何中心（仅均匀密度物体的质心才与几何中心重合）不同，质心会考虑系统内不均匀的质量分布。考试中，你通常要么需要计算给定系统的质心位置，要么利用质心运动的性质求解系统部件的未知速度或位移。
2. 离散质点系的质心 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
简化计算的一个关键策略是，始终选择能消去尽可能多项的坐标系，例如将原点放在其中一个质点上。
Exam tip: 如果可能，始终将坐标原点放在其中一个质点上，从而消去求和中的项，减少计时选择题部分常见的计算错误。
3. 连续延展物体的质心 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
对于由连续物质组成的延展物体，我们将对离散粒子的求和替换为对无穷小质量元$dm$的积分，每个质量元的位置为$\vec{r}$。通用公式变为：
\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm
对于二维问题，直角坐标系下形式为：
x_{CM} = \frac{1}{M} \int x dm, \quad y_{CM} = \frac{1}{M} \int y dm
对于均匀密度物体，密度$\rho = dm/dV$为常数，因此$\rho$会被消去，质心仅由几何形状决定。均匀物体最有用的捷径是对称性：如果物体存在对称轴，质心一定位于该轴上。对于复合物体或带空洞的物体，你可以重复使用离散质心公式：将每个部分看作位于自身质心的质点，或者对空洞使用负质量法（将空洞看作添加到原完整物体上的负质量）。
Exam tip: 对于任何涉及空洞或复合物体的问题，使用负质量法或复合质心法代替从零开始积分，可以在自由解答题中节省2-3分钟，留出更多时间解答更难的多部分问题。
4. 质心的运动 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
质心分析的一个核心结论是，系统质心的运动等价于：系统全部质量集中在质心，作用在系统上的所有外力都作用在该点。由此得到质心的牛顿第二定律：
M \vec{a}_{CM} = \vec{F}_{net, ext}
其中$\vec{F}_{net, ext}$是仅外力的矢量和（来自系统边界外物体的力）。对于速度，该关系可写为：
M \vec{v}_{CM} = \sum_{i} m_i \vec{v}_i = \vec{P}_{total}
系统的总动量始终等于总质量乘以质心速度。如果系统不受合外力，$\vec{a}_{CM} = 0$，因此$\vec{v}_{CM}$是常数。这是孤立系统动量守恒的基础，常用于当一个部件移动时，求解系统其他部件的未知位移。
Exam tip: 永远记住，质心运动仅取决于外力——内力（比如人和船之间的摩擦力）根据牛顿第三定律会相互抵消，永远不会影响质心加速度。
Common Pitfalls
Why: 学生经常在每个部件自己的坐标系中单独计算质心，然后对这些位置求平均，没有转换到统一参考系中。
Why: 学生习惯了均匀物体的质心在几何中心，因此将这个结论推广到所有物体。
Why: 学生混淆了系统部件之间的内部相互作用和系统外的外力。
Why: 学生赶时间，意外计算了未加权的和，或者除以粒子数量而不是总质量。
Why: 大多数例子（棒、球、立方体）的质心都在物体内部，因此学生认为这是普遍规律。