功与功能定理 — AP 物理 C：力学
1. 力做的功（恒力与变力） ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
对于作用在发生位移 $\Delta\vec{r}$ 的物体上的恒力 $\vec{F}$，功定义为点积：
W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r} = F\Delta r \cos\theta
其中 $\theta$ 是力矢量与位移矢量之间的夹角。如果 $\theta < 90^\circ$，功为正（能量增加）；如果 $\theta > 90^\circ$，功为负（能量减少）；如果 $\theta = 90^\circ$，功为零（无能量转移）。
对于随位置变化的变力，我们通过对无穷小位移积分扩展定义。对于沿x轴的一维运动：
W = \int_{x_1}^{x_2} F_x(x) dx
从几何角度看，该积分等于力-位置曲线与x轴之间的净面积，这是AP考试中常见的考点。
Exam tip: 始终要确认力与位移之间的夹角，而不是题目几何中不相关的角度。沿固定表面运动的物体受到的支持力永远不做功，因此你可以直接将其功记为零。
2. 功能定理：推导与表述 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
功能定理直接由牛顿第二定律推导而来，它给出了物体所受总功与动能变化之间的基本关系。它的优势在于可以用于变力问题，不需要对加速度关于时间积分。
W_{\text{net}} = \Delta KE = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2
一个关键点：只有总功（作用在物体上所有力做功的和）等于动能变化。除非只有一个力作用，否则单个力做的功不等于$\Delta KE$。
Exam tip: 如果题目要求一个力做功后的速率变化，在令总功等于$\Delta KE$之前，不要忘了加上其他所有力做的功（比如重力或摩擦力）。
3. 多个力的总功 ★★☆☆☆ ⏱ 2 min
当多个力作用在物体上时，有两种等效方法计算总功：你可以分别计算每个力做的功再求和，或者先计算合力再求合力做的功。从数学上，这个等价关系可以写成：
W_{\text{net}} = \sum W_i = \left(\sum \vec{F}_i\right) \cdot \Delta\vec{r} = W_{\vec{F}_{\text{net}}}
AP考试常考的特殊情况：滑动物体受到的动摩擦力做功永远为负（摩擦力与位移方向相反），任何与位移垂直的力做功永远为零，且如果物体匀速运动，合力为零，因此总功为零。
Exam tip: 如果物体匀速运动，你可以根据功能定理直接得出总功为零，这对于求解未知力做功的题目来说是一个极大的捷径。
4. 考试风格应用例题 ★★★★☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 学生记住了平行时的简化形式，忘记了通用的点积定义。
Why: 题目通常会突出一个力（比如拉力或推力），导致学生忘记其他力也对总功有贡献。
Why: 学生混淆了功（力-位置图像下的面积）和冲量（力-时间图像下的面积）。
Why: 学生忘记摩擦力方向与位移相反。
Why: 习惯了对速度分解矢量分量的学生错误地将这个方法推广到动能。
Why: 学生从运动学问题中养成了默认对时间积分的习惯。