College Board · cb-physics-c-mech · AP Physics C: Mechanics · Oscillations and Gravitation / 振动与引力 · 阅读约 16 分钟 · 更新于 2026-05-07

振动与引力 (Oscillations and Gravitation) — AP Physics C: Mechanics Phys C Mech 学习指南

适合谁：AP Physics C: Mechanics 参加 AP Physics C: Mechanics 的考生。

覆盖内容：覆盖简谐运动从 $F = - k x$ 的推导、从微分方程求周期频率、简谐运动能量、引力势能与轨道、开普勒定律推导五大核心考纲子主题。

前置知识：扎实的微积分（可并修），AP 物理 1 有帮助。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 AP Physics C: Mechanics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 College Board 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 College Board 官方 mark scheme。

1. 什么是振动与引力？

振动是物体在平衡位置附近的往复运动，引力是具有质量的物体之间的基本相互作用，二者是AP物理C力学的综合应用板块，占卷面分值的18%-22%，通常会结合牛顿定律、能量守恒、角动量守恒、微积分知识考察1道FRQ和3-4道MCQ，是区分高分段考生的核心考点之一。本板块的公式推导类题型占比高，要求你不仅会套用公式，还要能从基本定律出发完成完整推导步骤。

2. 简谐运动从 $F = - k x$ 的推导

简谐运动（Simple Harmonic Motion, SHM） 是最基础的振动形式，核心判定依据是物体所受回复力（restoring force） 满足与位移成正比、方向始终指向平衡位置的关系： $F = - k x$ 其中 $k$ 为劲度系数（spring constant），负号表示回复力方向与位移方向相反。

结合牛顿第二定律 $F = ma$ ，加速度 $a$ 是位移 $x$ 对时间的二阶导数，代入得： $m \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} = - k x$ 整理为SHM的标准二阶微分方程形式： $\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} + \frac{k}{m} x = 0$ 该方程的通解为： $x (t) = A cos (ω t + ϕ)$ 其中 $A$ 为振幅（amplitude）（最大位移大小）， $ω$ 为角频率（angular frequency）， $ϕ$ 为初相位（phase constant）（由初始时刻的位移和速度决定）。考官常考的考点是：只要一个运动的微分方程符合上述形式，就可以判定为简谐运动，不需要一定是弹簧系统。

3. 从微分方程求周期与频率

从上述微分方程可以直接提取角频率项： $ω^{2} = \frac{k}{m}$ ，因此 $ω = \frac{k}{m}$ 。

周期（period） $T$ 是完成一次全振动的时间，满足 $ω T = 2 π$ ，因此： $T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \frac{m}{k}$
频率（frequency） $f$ 是单位时间内完成的全振动次数，是周期的倒数： $f = \frac{1}{T} = \frac{ω}{2 π}$

范例：质量为0.4kg的物块挂在劲度系数为10N/m的竖直弹簧上，求振动周期。代入公式得 $T = 2 π \frac{0.4}{10} = 2 π 0.04 = 0.4 π \approx 1.26 s$ ，这里重力仅改变平衡位置，不影响周期，是高频考点。

4. 简谐运动的能量

简谐运动系统的机械能守恒，由**动能（kinetic energy）和弹性势能（elastic potential energy）**组成：

动能： $K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} sin^{2} (ω t + ϕ)$ ，在平衡位置（ $x = 0$ ）达到最大值 $K_{ma x} = \frac{1}{2} k A^{2}$
弹性势能： $U = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} cos^{2} (ω t + ϕ)$ ，在最大位移处（ $x = \pm A$ ）达到最大值 $U_{ma x} = \frac{1}{2} k A^{2}$
总机械能： $E = K + U = \frac{1}{2} k A^{2}$ ，为恒定值，仅由劲度系数和振幅决定。

5. 引力势能与轨道

根据万有引力定律（Newton's Law of Universal Gravitation），两个质量为 $M$ 和 $m$ 的质点，间距为 $r$ 时的引力大小为： $F_{g} = G \frac{M m}{r ^{2}}$ 其中 $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} / k g^{2}$ 为引力常量，方向沿两质点连线指向对方。

**引力势能（gravitational potential energy）**取无穷远为零势能面时，表达式为： $U_{g} = - G \frac{M m}{r}$ 负号表示将质点从当前位置移到无穷远时，引力做负功。

对于绕中心天体做圆周轨道运动的天体，引力提供向心力： $G \frac{M m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r}$ ，因此轨道速度 $v = \frac{GM}{r}$ ，总机械能为： $E = K + U = \frac{1}{2} m v^{2} - G \frac{M m}{r} = - \frac{GM m}{2 r}$ 负号表示轨道为束缚轨道，天体无法脱离中心天体的引力束缚。

6. 开普勒定律推导

开普勒三大定律是行星运动的基本规律，均可以从万有引力定律推导得出，是FRQ的常考推导题型：

第一定律（轨道定律）：行星绕太阳的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。推导依据：平方反比引力的作用下，质点的运动轨道为圆锥曲线，束缚态轨道为椭圆，考官只要求你掌握该结论的适用前提是平方反比引力。
第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。推导依据：引力为有心力，对太阳的力矩为零，因此行星的角动量守恒： $L = m r^{2} \dot{θ} = 常数$ ，单位时间扫过的面积 $\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} r^{2} \dot{θ} = \frac{L}{2 m}$ 为恒定值，因此相等时间扫过面积相等。
第三定律（周期定律）：行星公转周期的平方与轨道半长轴 $a$ 的三次方成正比： $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} a^{3}$ 对于圆周轨道，半长轴 $a$ 等于轨道半径 $r$ ，代入轨道速度公式 $v = \frac{GM}{r}$ 和周期公式 $T = \frac{2 π r}{v}$ 即可推导得出，椭圆轨道仅需将 $r$ 替换为半长轴 $a$ 即可成立。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

错误做法：认为所有往复运动都是简谐运动；原因：混淆了一般振动和简谐运动的判定标准；正确做法：只有满足回复力 $F = - k x$ 或微分方程符合 $\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} + ω^{2} x = 0$ 的运动才是简谐运动，比如单摆只有小角度摆动时才是SHM。
错误做法：计算竖直弹簧的SHM周期时扣除重力的影响；原因：误以为重力会改变回复力的大小；正确做法：重力仅将平衡位置下移，相对新平衡位置的回复力仍然满足 $F = - k x$ ，周期与水平弹簧完全一致。
错误做法：天体轨道问题中用 $m g h$ 计算引力势能；原因：误用地面附近的引力势能近似公式；正确做法：只有当高度 $h$ 远小于天体半径时 $m g h$ 才近似成立，天体轨道问题必须用 $U_{g} = - GM m / r$ 计算。
错误做法：混用不同中心天体的开普勒第三定律常数；原因：忽略公式中的 $M$ 是中心天体质量；正确做法：绕太阳运行的行星和绕地球运行的卫星，第三定律的 $\frac{4 π ^{2}}{GM}$ 常数不同，不能混用。

8. 练习题 (AP Physics C: Mechanics 风格)

题1

题干：质量为1kg的物块连接在劲度系数 $k = 100 N / m$ 的水平弹簧上，在光滑水平面做简谐运动，振幅为0.1m。求：(a) 运动周期；(b) 位移为0.05m时的速度大小；(c) 系统总机械能。解答： (a) 代入周期公式： $T = 2 π \frac{m}{k} = 2 π \frac{1}{100} = 0.2 π \approx 0.63 s$ (b) 总机械能 $E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.1)^{2} = 0.5 J$ ， $x = 0.05 m$ 处势能 $U = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.05)^{2} = 0.125 J$ ，动能 $K = E - U = 0.375 J$ ，因此 $v = \frac{2 K}{m} = 0.75 \approx 0.87 m / s$ (c) 总机械能为0.5J，保持恒定。

题2

题干：已知火星质量 $M = 6.4 \times 1 0^{23} k g$ ，火卫一绕火星做圆周运动的轨道半径 $r = 9.4 \times 1 0^{6} m$ ，求火卫一的公转周期（单位：小时）。解答：代入开普勒第三定律： $T^{2} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{GM}$ ，代入数值计算得 $T \approx 2.8 \times 1 0^{4} s$ ，换算为小时约为7.8小时。

题3

题干：判断以下运动是否为简谐运动，说明理由：(a) 小球在光滑球形碗底部的小幅度摆动；(b) 橡皮筋拴住的小球上下摆动的全程运动。解答： (a) 是，小角度下回复力 $F = - \frac{m g}{R} x$ ，符合 $F = - k x$ 的形式； (b) 不是，橡皮筋松弛时没有弹力，仅受重力，回复力不满足与位移成正比的关系。

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

分类	核心公式
简谐运动	$\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} + ω^{2} x = 0$ ， $x (t) = A cos (ω t + ϕ)$ ， $ω = \frac{k}{m}$
周期频率	$T = 2 π \frac{m}{k}$ ， $f = \frac{1}{T}$
SHM能量	$E = \frac{1}{2} k A^{2} = K_{ma x} = U_{ma x}$
引力	$F_{g} = G \frac{M m}{r ^{2}}$ ， $U_{g} = - G \frac{M m}{r}$
轨道	$v = \frac{GM}{r}$ ， $E = - \frac{GM m}{2 r}$
开普勒定律	$T^{2} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{GM}$ ， $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m}$

10. 接下来怎么学

振动与引力是AP物理C力学的收尾综合板块，前面学习的牛顿定律、能量守恒、角动量守恒、微积分运算知识都会在这个板块集中考察，掌握好该板块后你就可以进入整套真题的模考训练阶段，该板块的FRQ通常占15分左右，是拉开分差的核心考点。

如果你在知识点理解、真题练习上遇到任何问题，随时到小欧提问，我们会为你提供个性化的解答和针对性的训练方案。

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