AP Physics C 力学 线动量（微积分版本）— 完整学习指南

适用对象：备考 AP Physics C: Mechanics 的中国学生。

本章覆盖：动量定义、变力下的冲量-动量定理、碰撞与爆炸中的动量守恒、弹性 vs 非弹性碰撞、质心运动 — AP Physics C Mechanics Unit 4（微积分版）。

前置知识：牛顿定律（Unit 2）、动能定理（Unit 3）、单变量微积分（导数、积分）。

关于练习题的说明：下文练习题均为我们按 AP Physics C: Mechanics 风格原创的教学题。

1. 为什么线动量重要

Unit 4 占 AP Physics C: Mechanics 12-18% — 单 unit 不大但不可或缺。每道碰撞或爆炸题都依赖动量守恒。微积分版能处理变质量（火箭）、变力（缓冲垫）、由冲量到平均力的桥梁。

两大核心：

1. 动量 $\vec{p}=m\vec{v}$ — 矢量，闭系内守恒。
2. 冲量 $\vec{J}=\int \vec{F}dt=\Delta \vec{p}$ — 力对时间的积分 = 动量变化。

2. 冲量-动量定理

单粒子： $${\vec{F}}_{\text{net}}=\frac{d\vec{p}}{dt}$$

对时间积分得冲量-动量定理： $$\vec{J}={\int }_{t_1}^{t_2}{\vec{F}}_{\text{net}}dt={\vec{p}}_2-{\vec{p}}_1=\Delta \vec{p}$$

恒质量：$\Delta \vec{p}=m\Delta \vec{v}$。

变质量（火箭）：${\vec{F}}_{\text{ext}}=m\frac{d\vec{v}}{dt}+\vec{v}\frac{dm}{dt}$。注意 — 这只在 $dm/dt=0$ 时退化为 $F=ma$。

平均力：$\bar{F}=J/\Delta t$。碰撞峰力难测但冲量易测，常用。

3. 动量守恒

如果系统外力之和为零，系统总动量守恒： $$\sum {\vec{p}}_i^{\text{前}}=\sum {\vec{p}}_i^{\text{后}}$$

内力（系统内部）由牛顿三定律成对抵消，不能改变总动量。所以两车碰撞时，车间冲击力是（车-车）系统内力；总动量守恒。

分量：2D 问题要分别守恒 $p_x$ 与 $p_y$。

4. 碰撞分类

按动能去向分类：

1D 弹性碰撞，$m_1,v_1$ 撞静止 $m_2$： $$v_1^{\prime }=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}{v}_1,v_2^{\prime }=\frac{2m_1}{m_1+m_2}{v}_1$$

特殊情形：

• $m_1=m_2$：$v_1^{\prime }=0$、$v_2^{\prime }=v_1$（运动球停下，静止球以 $v_1$ 飞出）。
• $m_1\gg m_2$：$v_1^{\prime }\approx v_1$、$v_2^{\prime }\approx 2v_1$。
• $m_1\ll m_2$：$v_1^{\prime }\approx -v_1$、$v_2^{\prime }\approx 0$（球弹回）。

5. 质心

$N$ 粒子系统： $${\vec{R}}_{\text{cm}}=\frac{1}{M_{\text{total}}}\sum _i{m}_i{\vec{r}}_i,{\vec{v}}_{\text{cm}}=\frac{1}{M_{\text{total}}}\sum _i{m}_i{\vec{v}}_i$$

连续体：${\vec{R}}_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int \vec{r}dm$。

质心运动如同全部质量集中且只受外力作用： $$M{\vec{a}}_{\text{cm}}={\vec{F}}_{\text{ext}}$$

孤立系统的质心保持匀速直线运动 — 与内部运动无关。空中爆炸的烟花，碎片复杂运动，但质心仍走平滑抛物线直至各碎片落地。

6. 例题精讲

0.50 kg 球以 8.0 m/s 向右与静止的 1.5 kg 块正面相撞。撞后球以 2.0 m/s 向左反弹。 (a) 求块碰后速度。 (b) 求球的冲量。 (c) 若碰撞持续 0.020 s，求球受平均力。 (d) 判断弹性、非弹性、完全非弹性。

解答。

(a) 动量守恒（向右为正）： $(0.50)(8.0)+(1.5)(0)=(0.50)(-2.0)+(1.5)v_2^{\prime }$ $4.0=-1.0+1.5v_2^{\prime }$ $v_2^{\prime }=5.0/1.5=3.33$ m/s 向右。

(b) $J=\Delta p_{\text{球}}=0.50(-2.0-8.0)=-5.0$ kg·m/s。大小 5.0 kg·m/s 向左。

(c) $\bar{F}=J/\Delta t=-5.0/0.020=-250$ N。大小 250 N 向左。

(d) 初动能：$\frac{1}{2}(0.50)(8.0{)}^2=16.0$ J。 末动能：$\frac{1}{2}(0.50)(2.0{)}^2+\frac{1}{2}(1.5)(3.33{)}^2=1.0+8.32=9.32$ J。 KE 减少 — 非弹性（不是完全非弹性，因为没黏在一起）。

7. 易错点

• 动量与力混淆：动量是某瞬时的矢量；冲量是力对时间积分 = 动量变化。
• 闭系不闭：外力（重力、摩擦）在时间区间内施加冲量，会破坏守恒。短时碰撞中重力/摩擦冲量通常远小于内力，可忽略 — 验证。
• 弹性 ≠ 弹开：很多弹开的碰撞实际是部分非弹性。弹性专指动能守恒，宏观少见。
• 1D 符号错：先选正方向并坚持。向左运动的物体在你的符号约定下速度为负。

8. 练习题（CED 风格）

1. 0.20 kg 球从 5.0 m 高落地，反弹至 3.0 m。求 (a) 接触期间球受冲量；(b) 若接触持续 0.010 s，平均力。
2. 50 kg 小车以 4 m/s 撞静止的 30 kg 小车后黏在一起。求共同速度及损失的初动能比例。
3. 两滑冰者（60 kg、80 kg）互相蹬开，60-kg 者向右 2.0 m/s。求 80-kg 者速度。初始静止。

9. 速查表

• $\vec{p}=m\vec{v}$（矢量）。
• ${\vec{F}}_{\text{net}}=d\vec{p}/dt$。
• 冲量：$\vec{J}=\int \vec{F}dt=\Delta \vec{p}$。
• 平均力：$\bar{F}=J/\Delta t$。
• 守恒：无外力时 $\sum {\vec{p}}_{\text{前}}=\sum {\vec{p}}_{\text{后}}$。
• 弹性：$p$ 和 KE 都守恒。
• 完全非弹性：黏在一起、$p$ 守恒、KE 损失最大。
• 1D 弹性撞静止靶：$v_1^{\prime }=(m_1-m_2)/(m_1+m_2)\cdot v_1$、$v_2^{\prime }=2m_1/(m_1+m_2)\cdot v_1$。
• 质心：${\vec{v}}_{\text{cm}}$ 不受内力影响。

10. 下一步

线动量通过角动量（叉积类比）连接 Unit 5（转动），向后联系 Unit 3 能量定理（弹性 vs 非弹性）。2D 碰撞题（需要分量守恒）或火箭变质量推导可问小欧。