安培定律 — AP 物理 C：电磁学
1. 安培-麦克斯韦定律（积分形式） ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
安培定律将闭合安培环路周围的磁场线积分与该环路包围的净电流联系起来。它对任意闭合环路都始终成立，但只有对称电流分布才能化简为可解的表达式，避免了复杂的毕奥-萨伐尔积分。
\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left( I_{\text{enclosed}} + \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \right)
等式左侧，$\oint$ 是安培环路的闭合线积分，$\vec{B}$ 是磁场矢量，$d\vec{l}$ 是无穷小切向长度矢量。等式右侧，$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T·m/A}$ 是真空磁导率，$I_{\text{enclosed}}$ 是穿过环路的净电流，$\epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ 是对应时变电场的位移电流项。
对于恒定电流，$\frac{d\Phi_E}{dt} = 0$，因此方程简化为原始安培定律：$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$。$I_{\text{enclosed}}$ 的符号遵循右手定则：右手四指沿积分方向弯曲，大拇指指向为正电流方向。
Exam tip: 选择安培环路前一定要先做对称性分析。如果B无法从积分中提出，安培定律就无法化简得到B的解。
2. 螺线管的磁场 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
螺线管是缠绕在芯上的长线圈，用于产生均匀磁场，是AP考试最常考察的几何结构之一。对于理想无限长螺线管，对称性分析告诉我们，线圈内部磁场均匀且平行于螺线管轴线，线圈外部磁场为零。
螺线管的标准安培环路是矩形：一条长度为$L$的边在螺线管内部平行于轴线，另一条长度为$L$的边在外部平行于轴线，另外两条短边垂直于轴线。
Exam tip: $B = \mu_0 n I$ 结果仅适用于无限长螺线管。AP考试经常考察有限长螺线管端点的磁场是中心值的一半这一结论。
3. 圆柱对称性与同轴电缆 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
圆柱对称电流分布（实心导线、同轴电缆）是AP自由回答题的常见考点，因为这类问题需要在多个包围电流不同的区域应用安培定律。对于任何沿轴线方向的圆柱对称电流，我们总是选择以轴线为中心的圆形安培环路，所有区域的线积分都可以化简为$B(2\pi r)$。
对于半径为$R$的实心导线中的均匀电流分布，半径$r < R$处的包围电流与包围面积成正比：$I_{\text{enclosed}} = I \frac{r^2}{R^2}$。
Exam tip: 计算净包围电流时一定要检查电流方向。同轴电缆的外电流几乎总是与内电流方向相反，因此外部磁场为零。
4. 额外的考试风格例题 ★★★★☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 无限长螺线管的结果依赖于无限长对称性，该对称性抵消了外部磁场，均匀了内部磁场，不适用于有限长螺线管的端点。
Why: 学生往往只关注大小，忽略线积分的符号规则，导致得到错误的净包围电流。
Why: 安培定律对任意闭合环路都成立，但只有当$B$在环路所有点上大小恒定且平行于$d\vec{l}$时，才能化简积分。
Why: 学生做题太快，忘记只有穿过安培环路的电流才会计入$I_{\text{enclosed}}$。
Why: 恒定电流例题中通常省略位移电流，因此学生忘记当电通量随时间变化时必须包含该项。