电势 — AP 物理 C：电磁学
1. 什么是电势？ ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
电势是由源电荷分布产生的、描述空间中某点单位试探电荷所具有电势能的标量，记作$V$，单位为伏特（$1\ \text{V} = 1\ \text{J/C} = 1\ \text{N·m/C}$）。当指代两点之间的电势差时，电势常被称为"电压"。
与电场是矢量不同，电势是带符号的标量。这简化了电荷分布的电势计算：你只需要做代数相加，不需要分解矢量分量。电势是相对于参考点定义的；对于有限电荷分布，我们几乎总是取无穷远处$V = 0$，这与电势能的约定一致。由于电场力是保守力，两点之间的电势差与路径无关，即它仅取决于两点之间任意路径的端点。
2. 电势差与点电荷的电势 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
两点$a$和$b$之间的电势差$\Delta V$定义为试探电荷在两点之间移动时，单位试探电荷的电势能变化量：
ΔV = V_b - V_a = ΔU/q_0 = -W_{a→b}/q_0
其中$W_{a\to b}$是电场对试探电荷$q_0$做的功，$\Delta U$是电势能的变化量。若取参考电势$V_\infty = 0$，我们可以推导出点电荷$Q$距离$r$处的绝对电势为：
V(r) = \frac{kQ}{r} = \frac{1}{4πε_0} \frac{Q}{r}
正源电荷的电势为正，负源电荷的电势为负。对于点电荷系统，电势满足标量叠加原理：总电势就是各个电荷电势的代数和，不需要分解矢量分量，即$V_{total} = \sum_i \frac{kQ_i}{r_i}$。
3. 连续电荷分布的电势 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
对于连续电荷分布，我们将其分割为无数无穷小的点电荷$dq$，对每个$dq$应用点电荷电势公式，然后积分得到总电势：
V = \int \frac{1}{4πε_0} \frac{dq}{r}
其中$r$是无穷小电荷$dq$到我们计算电势的点的距离。由于这是标量积分，它几乎总是比积分求电场更简单，因为求电场需要先分解矢量分量。
4. 电势与电场的关系 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
电势差是电场沿路径积分的负值，因此我们可以将这个关系反过来，由电势的导数求电场。对于$V$仅依赖$x$的一维情况，有：
E_x = -\frac{dV}{dx}
在三维中，这个关系推广为$\vec{E} = -\nabla V$，即电场是电势的负梯度。这说明电场总是指向电势降低的方向，电场的大小等于电势随距离的变化率。等势面（电势恒定的曲面）总是与电场线垂直，因为沿等势面移动电荷时电场不做功。
5. 额外的考试风格例题 ★★★★☆ ⏱ 6 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了电势的标量叠加和电场的矢量加法，电场加法需要加分量的大小。
Why: 学生认为如果电势和为零，那么给出E的导数也一定为零，这是错误的。
Why: 学生混淆了电势差（可以用任意参考点）和有限电荷分布的绝对电势。
Why: 学生混淆了导体内部$E = 0$和导数关系$E = -dV/dx = 0$，这个关系说明V是恒定的，不是零。
Why: 学生习惯了对连续分布计算E，那需要分量，所以他们把这个习惯带到了电势计算中。