核衰变 — AP 物理 2

1. 核衰变基础与符号表示 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

核衰变（又称放射性衰变）是不稳定原子核自发发生分解，通过释放电离辐射达到更稳定低能态的过程。原子核不稳定的原因包括中子质子比失衡、核子总数过大，或在之前的核反应后处于激发态。虽然无法预测单个原子核何时衰变，但大量不稳定原子核的衰变服从可预测的统计规律。

2. 衰变类型与守恒定律 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

所有核衰变反应都必须满足两个基本守恒定律，这也是AP物理2考试的常考点：总核子数（$A$）守恒和总电荷（$Z$）守恒。反应左侧的$A$值总和等于产物侧的$A$值总和，$Z$值也满足相同的等式关系。

• **α衰变**：发生在质量过大（$A > 200$）无法稳定存在的重核素中，会放出α粒子（$^4_2 \alpha$，与氦原子核完全相同），最终嬗变为新元素。
• **β⁻衰变**：最常见的β衰变类型，发生在中子数过多的原子核中。一个中子衰变为一个质子、一个高能电子（$^0_{-1} \beta^-$）和一个反中微子，最终发生嬗变。
• **γ衰变**：发生在处于激发能态的原子核中。原子核放出高能γ光子（$^0_0 \gamma$）释放多余能量，$A$和$Z$都不发生变化，因此不发生嬗变。

3. 指数衰变、半衰期与活度 ★★★☆☆ ⏱ 5 min

放射性衰变是一个统计过程，瞬时衰变速率与剩余未衰变原子核数$N(t)$成正比，由此得到微分衰变定律$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$，其中$\lambda$是衰变常数（单位为时间的倒数，$\lambda$越大衰变越快）。求解该方程得到指数衰变定律：

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

其中$N_0$是$t=0$时未衰变原子核的初始数量。半衰期（$T_{1/2}$）定义为原有不稳定原子核半数发生衰变所需的时间。将$N = N_0/2$、$t=T_{1/2}$代入得到半衰期和衰变常数的核心关系：

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{\lambda}

活度$R(t)$是可测量的衰变速率（单位时间内的衰变次数），等于$R = \left|\frac{dN}{dt}\right| = \lambda N(t)$。活度同样服从指数衰变定律$R(t) = R_0 e^{-\lambda t}$，其中$R_0 = \lambda N_0$是初始活度。计算时，直接用半衰期表示衰变规律通常更简便：经过$n = t/T_{1/2}$个半衰期后，$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$，$R(t) = R_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$。

4. 质能等价与衰变Q值 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

核衰变要自发发生，衰变产物的总质量必须小于母核的质量。根据$E = \Delta m c^2$，质量差$\Delta m$会转化为衰变产物的动能，这部分能量就是衰变的Q值，定义为：

Q = (m_{\text{parent}} - \sum m_{\text{products}}) c^2

若$Q>0$，则衰变自发发生（放热），所有天然发生的核衰变都满足这一点。若$Q<0$，则衰变无法自发发生。AP题目中有一个简便技巧：可以直接使用原子质量（而非原子核质量），因为α衰变和β⁻衰变方程两侧的总电子数相等，电子质量会相互抵消。记住$1 \text{ u} \cdot c^2 = 931.5 \text{ MeV}$。

5. AP风格概念检测 ★★★☆☆ ⏱ 3 min