电阻率与电阻 — AP 物理 2
AP 物理 2 · 电路 · 14 min read
1. 核心定义：电阻与电阻率的区别 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
电阻（符号$R$，单位欧姆$\Omega$）衡量材料元件对通过其中的电流的阻碍作用，常规定义为元件两端电势差与通过它的电流的比值。电阻率（符号$\rho$，单位欧姆·米$\Omega \cdot \text{m}$）是材料的固有强度量性质，即它不随样品的尺寸或形状改变，仅取决于材料种类和温度。
本主题约占AP物理2第4单元考试分值的12%，在选择题和自由作答题中均频繁出现，常与功率损耗、等效电阻等其他电路概念结合考查。AP考题常考查考生区分这两种性质，以及将导线尺寸或温度变化与电阻变化关联起来的能力。
2. 电阻与电阻率的关系 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
均匀样品的电阻与电阻率的基本关系直接取决于样品的几何形状。对于横截面积为$A$、长度为$L$的均匀导线，电阻公式为：
R = \rho \frac{L}{A}
增加导线长度意味着电流需要通过更多阻碍材料，因此电阻随$L$线性增加。增加横截面积给载流子提供更多流动空间，因此电阻与$A$成反比减小。该公式仅适用于均匀各向同性材料，这也是AP物理2唯一考查的情况。
3. 电阻率的温度依赖性 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
材料的电阻率随温度变化，因为温度会改变载流子以及载流子碰撞的原子的运动。对于大多数金属导体，温度升高会增加晶格原子的动能，导致自由电子与晶格的碰撞更频繁，因此电阻率升高。对于半导体，温度升高会从晶格中释放出更多载流子，这一效应超过碰撞频率增加的影响，因此电阻率随温度升高而降低。
对于参考温度$T_0$附近的小温度变化，近似线性关系为：
\rho(T) = \rho_0 \left[ 1 + \alpha (T - T_0) \right]
其中$\rho_0$是参考温度$T_0$（通常为20°C）下的电阻率，$\alpha$是电阻率温度系数。对于金属，$\alpha$为正；对于半导体，$\alpha$为负。由于电阻与电阻率成正比，该关系也直接适用于电阻：
R(T) = R_0 [1 + \alpha (T - T_0)]
4. 欧姆材料与非欧姆材料 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
若材料或元件服从欧姆定律，则分类为欧姆材料：即在固定温度下，无论施加的电压或通过的电流如何变化，元件的电阻保持恒定。对于欧姆材料，电势差$V$对电流$I$的图像是过原点的直线，斜率等于恒定电阻$R$。
非欧姆材料的电阻不恒定，电阻随施加的电压或电流变化。最常见的例子是灯丝灯泡（电流加热灯丝，电阻升高）和二极管（一个方向电阻高，另一个方向电阻低）。需要记住的关键点：即使对于非欧姆材料，在任意工作点电阻的定义$R = V/I$仍然成立，只是不同工作点的电阻不恒定而已。
5. 额外AP风格例题讲解 ★★★★☆ ⏱ 7 min
Common Pitfalls
Why: 学生忘记拉伸时体积守恒，因此横截面积也会减小k倍以保持体积不变。
Why: 学生混淆了强度量（电阻率）和广延量（电阻）的定义。
Why: 学生接触的例子大多是金属导体，因此忘记半导体的相反性质。
Why: 学生混淆了电阻的定义和欧姆定律（欧姆定律要求电阻恒定）。
Why: 电阻率的单位是$\Omega \cdot \text{m}$，因此所有输入长度都必须匹配该单位。
Quick Reference Cheatsheet