简谐运动的运动学

AP 物理 1· AP 物理 1 课程与考试说明 — 振动· 14 分钟阅读

1. 什么是简谐运动运动学？★★☆☆☆⏱ 3 min

简谐运动（SHM）的运动学研究振动物体的位移、速度、加速度随时间的变化规律，不分析引发该运动的受力（受力分析将在简谐运动动力学部分讲解）。

📘 定义

简谐运动（SHM）

一类特殊的周期性运动，定义为加速度与相对于平衡位置的位移之间存在固定的正比关系。

例:

Ideal mass-spring system, small-angle pendulum swings

我们使用标准记号： $A$ 代表振幅（相对于平衡位置的最大位移）， $ω$ 代表角频率， $f$ 代表频率（每秒完成的周期数）， $T$ 代表周期（完成一个周期所需的秒数）， $ϕ$ 代表相位常数， $x (t), v (t), a (t)$ 分别代表 $t$ 时刻的位移、速度和加速度。简谐运动是AP物理1第7单元所有其他简谐运动相关内容的基础先修知识。

2. 定义条件与角频率换算★★☆☆☆⏱ 3 min

所有周期性运动都会在固定周期内重复，但只有简谐运动满足定义它的加速度与位移之间的特定正比关系。该关系将简谐运动与其他类型的周期性运动区分开，也是所有运动学分析的起点。

a(t) = -\omega^2 x(t)

式中的负号至关重要：它表示加速度始终指向平衡位置，与相对于平衡位置的位移方向相反。这与直觉相符：如果你将弹簧上的物块拉到平衡位置右侧，加速度会向左指向中心，反之亦然。

角频率与更易测量的物理量周期（ $T$ ，单次振动的时间）和频率（ $f$ ，每秒振动的次数）直接相关，二者满足两个核心关系：

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

📐 例题

弹簧上的物块做简谐运动。某一时刻物块相对于平衡位置的位移为 $x = + 0.15 m$ ，测得其加速度为 $a = - 13.5 m/s^{2}$ 。求该物块简谐运动的周期。

1
从简谐运动的定义关系出发：
$a = -\omega^2 x$
2
消去负号，求解 $ω^{2}$ ：
$\omega^2 = \frac{-a}{x} = \frac{-(-13.5)}{0.15} = 90 \text{ rad}^2/\text{s}^2$
3
取正的平方根（角频率始终为正）：
$\omega = \sqrt{90} \approx 9.49 \text{ rad/s}$
4
将 $ω$ 与周期关联：
$T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{6.28}{9.49} \approx 0.66 \text{ s}$

Exam tip:

通过定义关系求解 $ω$ 时，务必先消去负号。 $ω$ 始终为正，因此即使位移或加速度为负，最终得到的角频率也不可能为负。

3. 位移、速度、加速度的运动学方程★★★☆☆⏱ 4 min

从加速度-位移的定义关系出发，我们可以推导出位移、速度、加速度随时间变化的函数方程。位移函数的通用形式（为符合AP考试惯例采用余弦形式书写）为：

x(t) = A \cos(\omega t + \phi)

$A$ 是振幅（相对于平衡位置的最大位移，始终为正）， $ϕ$ 是相位常数，用于调整方程以匹配振子在 $t = 0$ 时刻的初始位移和初始速度。速度的大小在平衡位置（位移为零处）达到最大值，在转折点处为零；加速度在转折点处达到最大值，在平衡位置处为零。这些特性都可以通过以下方程描述：

v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi) \quad (v_{max} = A\omega \text{ at equilibrium})

a(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)

要确定 $ϕ$ 的值，需要同时使用 $t = 0$ 时刻的初始位置和初始速度。常见情况：若振子在 $t = 0$ 时处于最大正位移处，则 $ϕ = 0$ 。若振子在 $t = 0$ 时经过平衡位置且向正方向运动，则 $ϕ = - π /2$ ，此时运动方程可简化为 $x (t) = A sin (ω t)$ 。

📐 例题

一个质量为0.2 kg的物块做简谐运动（SHM），振幅为0.4 m，周期为2.0 s。在 $t = 0$ 时刻，物块位于 $x = 0$ m处，且向x轴正方向运动。写出该物块的位置随时间变化的函数表达式。

1
首先计算角频率：
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ rad/s}. We know A = 0.4 \text{ m}, so only find $\phi$.$
2
代入 $t = 0$ 时刻的初始位置条件：
$x(0) = A \cos(\phi) = 0 \implies \cos(\phi) = 0, so \phi = +\pi/2 or -\pi/2$
3
利用 $t = 0$ 时刻初始速度为正的条件确定正确的符号：
$v(0) = -A \omega \sin(\phi) > 0 \implies \sin(\phi) < 0 \implies \phi = -\pi/2$
4
代回原式并利用三角恒等式化简：
$x(t) = 0.4 \cos\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) = 0.4 \sin(\pi t) \text{ meters}$

Exam tip:

务必同时核对 $t = 0$ 时刻的位移和速度，以确定相位常数的正确符号。很多学生仅匹配初始位移就停止计算，最终得到错误的相位。

4. 简谐运动运动学的图像分析★★★☆☆⏱ 4 min

AP物理1考试经常考查简谐运动的图像推理能力，要求你关联 $x (t)$ 、 $v (t)$ 和 $a (t)$ 的图像，或从给定图像中提取振幅、周期等物理量。解题的核心是理解这三个物理量之间固定的相位差：

Acceleration is 180° ( $π$ radians) out of phase with position: when position is maximum positive, acceleration is maximum negative, and vice versa.
Velocity is 90° ( $π /2$ radians) out of phase with position: when position is zero (at equilibrium), velocity is maximum magnitude, and when position is maximum, velocity is zero.

📐 例题

某做简谐运动的物体的位置-时间图像最大位移为2.0 cm，相邻的波峰（最大正位移）分别出现在 $t = 0$ s和 $t = 4.0$ s时刻。计算该物体的最大速率和最大加速度。

1
从图像中提取振幅和周期：
$A = 2.0 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}, \quad T = 4.0 \text{ s}$
2
计算角频率：
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \text{ rad/s}$
3
最大速率为 $v_{ma x} = A ω$ （正弦项的最大绝对值为1）：
$v_{max} = (0.02 \text{ m})(1.57 \text{ rad/s}) \approx 0.031 \text{ m/s}$
4
最大加速度为 $a_{ma x} = A ω^{2}$ （余弦项的最大绝对值为1）：
$a_{max} = (0.02 \text{ m})(1.57^2 \text{ rad}^2/\text{s}^2) \approx 0.049 \text{ m/s}^2$

✓ 快速检测

请完成以下这道AP风格的选择题，检验你对知识点的掌握程度：

An object undergoes simple harmonic motion described by the equation $x (t) = 3 cos (\frac{π}{2} t + \frac{π}{2})$ where $x$ is in meters and $t$ is in seconds. What is the speed of the object at $t = 0$ ?
- 0 m/s
- $\frac{3 π}{2}$ m/s
- $3 π$ m/s
- $\frac{9 π}{4}$ m/s
显示答案
1 —
Correct. Speed is the magnitude of velocity. Using $v (t) = - A ω sin (ω t + ϕ)$ , substituting values gives $v (0) = - \frac{3 π}{2}$ m/s, so speed is $\frac{3 π}{2}$ m/s. The other options correspond to common student mistakes.

Exam tip:

从位置-时间图像中读取周期时，务必选取两个完全相同的点（例如两个相邻的波峰，或两个相邻且斜率方向一致的过零点）进行测量，不能随意选取任意两个过零点。

5. 常见陷阱

错误做法:

Using $ω = T / (2 π)$ instead of $ω = 2 π / T$ when relating angular frequency to period.

原因:

Students mix up the inverse relationship between period and frequency, confusing which quantity goes in the numerator.

正确做法:

Always start from $f = 1/ T$ and $ω = 2 π f$ , substitute to get $ω = 2 π / T$ , and write this relationship at the top of your page before starting calculations.

错误做法:

Forgetting the negative sign in $v (t) = - A ω sin (ω t + ϕ)$ and getting the wrong direction of velocity at $t = 0$ .

原因:

At a cosine maximum the $x$ - $t$ slope is zero and turns negative just afterward, so students misjudge the sign and direction of $v$ .

正确做法:

Read velocity as the slope of the $x$ - $t$ curve: it is zero at the turning points and negative just after a positive maximum, matching the $- A ω sin$ form.

错误做法:

Calculating period as the distance between a positive-slope zero crossing and negative-slope zero crossing on an $x (t)$ graph.

原因:

Students see two zero crossings and assume they are one period apart.

正确做法:

On any SHM position graph, mark two consecutive peaks (or two consecutive zero crossings with the same slope sign) to measure the full period.

错误做法:

Claiming that maximum acceleration occurs when velocity is maximum.

原因:

Students confuse SHM kinematics with constant acceleration kinematics, where maximum acceleration is independent of velocity.

正确做法:

Memorize the rule: maximum position = zero velocity = maximum acceleration; zero position = maximum velocity = zero acceleration, and reference this for every graph or calculation question.

错误做法:

Using $v_{ma x} = ω r$ (from circular motion) for SHM, but substituting the wrong value for $r$ .

原因:

Students recall the relationship between tangential speed and angular speed from uniform circular motion, but misapply it to SHM.

正确做法:

Remember that for SHM, $v_{ma x} = ω A$ , where $A$ is the amplitude; this maximum speed occurs at equilibrium, where the $x$ - $t$ slope is steepest.

6. 速查表

Category	Formula	Notes
Defining SHM condition	$a = - ω^{2} x$	True for all SHM, regardless of system
Angular frequency → period	$ω = \frac{2 π}{T}$	$ω$ in rad/s, $T$ in s, always positive
Angular frequency → frequency	$ω = 2 π f$	$f$ in Hz (cycles per second)
General position function	$x (t) = A cos (ω t + ϕ)$	$A$ = amplitude (always positive), $ϕ$ = phase constant
Velocity function	$v (t) = - A ω sin (ω t + ϕ)$	Speed is zero at the turning points, maximum ( $= ω A$ ) at equilibrium; negative sign critical
Acceleration function	$a (t) = - A ω^{2} cos (ω t + ϕ)$	Reduces to defining $a = - ω^{2} x$
Maximum speed	$v_{ma x} = A ω$	Occurs when $x = 0$ (at equilibrium)
Maximum acceleration	$a_{ma x} = A ω^{2}$	Occurs when $x = \pm A$ (max displacement)
Phase relationship 1	$a$ 180° out of phase with $x$	When $x$ is max positive, $a$ is max negative
Phase relationship 2	$v$ 90° out of phase with $x$	When $x = 0$ , $v$ has maximum magnitude

下一步

This topic lays the kinematic foundation for all SHM topics in Unit 7 of AP Physics 1. Immediately next, you will connect the kinematic definition of SHM to dynamics, relating angular frequency to system properties like mass and spring constant for a mass-spring system, or length and gravitational acceleration for a pendulum. Without mastering the kinematic relationships between $ω$ , $T$ , and the $a - x$ condition, you will not be able to derive or predict the period of SHM for different systems, a high-weight FRQ topic on the AP exam. This topic also feeds directly into the study of energy in SHM later in Unit 7.

→Energy in Simple Harmonic Motion