引力势能和弹性势能 — AP 物理 1

1. 势能的核心概念 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

势能是封闭系统中由相互作用物体相对位置产生的储存能量。引力势能因质量间的引力相互作用储存；在AP物理1中，我们仅研究地球表面附近重力近似恒定的情况。弹性势能储存在理想弹簧这类被拉伸或压缩偏离平衡的弹性物体中。按照惯例，我们用$U$表示势能，$U_g$表示引力势能，$U_s$（或$U_{el}$）表示弹性势能。只有势能的变化具有物理意义，因此我们可以任选参考点令$U=0$。本知识点占你AP物理1考试总分的约6-9%，会同时出现在选择题和自由问答题中。

2. 地球表面附近的引力势能 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

引力势能描述了引力场中质量分离储存的能量。在地球表面，质量$m$受到的引力近似恒定，方向向下。质量改变位置时，质量-地球系统的引力势能变化等于重力做功的负值：

\Delta U_g = -W_g

如果质量的高度变化为$\Delta y = y_{final} - y_{initial}$（向上为正方向），重力做功为$W_g = -mg\Delta y$。代入后得到：

\Delta U_g = mg\Delta y

如果我们选择$U_g = 0$的参考点，就可以写出$U_g = mgy$，其中$y$是质量相对于该参考点的高度。增加质量的高度会增加储存的引力势能，这符合直觉，因为物体下落时储存的能量可以转化为运动。

Exam tip: 始终确认$\Delta y$是竖直高度的变化，不是水平距离或步道长度——AP 1考试经常给出步道长度来考察这个区分。

3. 理想弹簧的弹性势能 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

弹性势能储存在被拉伸或压缩偏离平衡（原长）位置的理想弹簧（或其他弹性材料）中。理想弹簧服从胡克定律：

F_s = -kx

其中$x$是偏离平衡的位移，$k$是劲度系数（衡量弹簧刚度，单位N/m）。要得到弹性势能，我们使用势能变化等于保守弹簧力做功负值的关系。弹簧从平衡位置（$x=0$）运动到位移$x$时，弹簧做的功为$W_s = -\frac{1}{2}kx^2$，因此我们得到标准公式，平衡位置处$U_s = 0$（这是AP 1的标准惯例）：

U_s = \frac{1}{2}kx^2

注意$x$是平方项，因此将弹簧拉伸0.1 m储存的能量和压缩0.1 m储存的能量相同。刚度更大的弹簧（$k$更大）在相同位移下储存更多能量，能量随位移的平方增长，因此位移加倍储存的能量变为四倍。

Exam tip: 绝对不要将弹簧的总长度用作$x$——$x$始终是偏离平衡（原长）的位移，因此你必须用拉伸/压缩后的长度减去原长得到$x$。

4. 包含多种势能的机械能守恒 ★★★★☆ ⏱ 7 min

封闭系统的总机械能是动能、引力势能和弹性势能的和：

E_{mech} = K + U_g + U_s

如果没有非保守力（摩擦力、空气阻力、外力推力）对系统做净功，总机械能守恒。这意味着初始总机械能等于末态总机械能：

K_i + U_{g,i} + U_{s,i} = K_f + U_{g,f} + U_{s,f}

这是AP物理1中最有用的解题工具之一，因为它让你不需要计算运动过程中每个点的加速度或力就能得到速度或位置。为了简化计算，始终为$U_g$选择方便的零参考点，通常将$U_g=0$设在运动的最低点，这样该位置的势能项在最终计算中为零。

Exam tip: 始终画出初末位置，确认所有位移/高度变化——学生在这类问题中几乎总是忘记将弹簧压缩量加到总高度变化中。