牛顿万有引力定律 — AP 物理 1
1. 牛顿万有引力定律的核心定义 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
牛顿万有引力定律是描述任意两个有质量物体之间吸引力长程力的基本物理定律。它适用于宇宙中所有物体，不仅限于地球附近的行星或天体。在AP物理1中，我们仅研究质点或均匀球形质量，因此物体之间的距离定义为它们质心之间的距离。该知识点占AP考试总分的16–18%，会在选择题（MCQ）和自由问答题（FRQ）部分都出现。
2. 引力公式与平方反比比例关系 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
牛顿定律给出两个质量之间引力大小为：
F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
其中 $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2$ 是万有引力常数，$m_1$ 和 $m_2$ 是两个物体的质量，$r$ 是中心间距。AP物理1几乎总是考察这个关系的比例推理，而不是代入$G$的完整计算。$r$的平方反比关系意味着：如果距离加倍，力会降到原值的$1/4$；如果距离变为三倍，力会降到原值的$1/9$。
Exam tip: 做比例关系题时一定要使用比例推导法，节省时间同时避免因$G$数值太小导致的计算错误。
3. 重力加速度随海拔的变化 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
我们熟悉的地球表面附近重力加速度$g = 9.8 \text{ m/s}^2$只是牛顿万有引力的一个特例。我们可以结合牛顿第二定律和万有引力公式，推导出距行星中心任意距离处的重力加速度。
Exam tip: 绝不要直接将海拔（距表面的距离）代入$g(r)$公式。必须先将行星半径加上海拔，得到总中心间距后再计算。
4. 圆形轨道运动与开普勒第三定律 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
对于小物体绕大质量中心天体做匀速圆周运动，提供所需向心加速度的唯一力就是引力。将引力等于向心力得到轨道运动的核心关系：
G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r}
轨道物体的质量$m$消去，得到轨道速度公式：
v = \sqrt{\frac{GM}{r}}
轨道速度仅取决于中心质量$M$和轨道半径$r$，因此同一轨道上两个质量不同的卫星速度相同。我们可以将$v = \frac{2\pi r}{T}$（$T$为轨道周期）代入轨道速度公式，推导出圆轨道的开普勒第三定律，结果为：
T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{GM}\right) r^3
这意味着对于所有绕同一中心天体运动的物体，轨道周期的平方与轨道半径的立方成正比：$T^2 \propto r^3$。
Exam tip: $T^2 \propto r^3$比例关系仅适用于绕同一中心天体运动的物体。如果两个物体绕质量不同的不同行星运动，比例常数会发生变化。
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了地表距离和公式要求的中心间距
Why: 学生将力的大小与加速度混淆，忘记牛顿第三定律也适用于引力
Why: 建立力的方程时，学生混淆了两个质量的角色
Why: 学生将开普勒第三定律的幂次关系和引力的平方反比关系混淆
Why: 这是常见的流行文化误区，错误地将太空等同于零重力