AP Physics 1 简谐运动 — 完整学习指南

适用对象：备考 AP Physics 1 的中国学生。

本章覆盖：恢复力与 Hooke 定律、弹簧与单摆周期、SHM 中的能量、图像与方程分析 — AP Physics 1 Unit 6（CED 2024-25）。

前置知识：Hooke 定律与弹簧（Unit 2）、能量守恒（Unit 4）。

关于练习题的说明：下文练习题均为我们按 AP Physics 1 风格原创的教学题。

1. 什么是「简谐」运动？

简谐运动（SHM）= 恢复力与位移成正比、方向指向平衡位置：$F=-kx$。负号是核心 — 向右推它，力向左拉，反之亦然。

满足 $F=-kx$ 的两种典范：理想弹簧（Hooke 定律）和小角度单摆（小角近似 $\sin \theta \approx \theta$）。

结果：位置随时间正弦振荡： $$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$$ 振幅 $A$、角频率 $\omega$、相位 $\varphi$。

2. 周期与频率

周期 $T$ = 一次完整振动时间。频率 $f=1/T$（Hz）。角频率 $\omega =2\pi f=2\pi /T$。

弹簧振子：$T=2\pi \sqrt{m/k}$。周期只依赖于质量和弹簧常数，不依赖振幅。

单摆（长 $L$，小角度）：$T=2\pi \sqrt{L/g}$。只依赖于长度和重力加速度，不依赖质量或振幅。

两者都是「越硬」（$k$ 对弹簧、$g/L$ 对单摆）周期越短。

3. 速度与加速度

对 $x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$ 求导： $$v(t)=-A\omega \sin (\omega t+\varphi ),a(t)=-A{\omega }^2\cos (\omega t+\varphi )=-{\omega }^{2}x$$

最大值：v_\max = A\omega 在平衡位置（$x=0$）；a_\max = A\omega^2 在端点（$x=\pm A$）。

SHM 中的能量：$E_{\text{总}}=\frac{1}{2}k{A}^2$（守恒）。在 KE（$x=0$ 时最大）和 PE（$x=\pm A$ 时最大）之间转换。任意位置： $$\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2$$

4. 图像特征

位置-时间图是正弦曲线。FRQ 中要识别：

• 振幅 = 距平衡位置的最大位移。
• 周期 = 同一对应点之间的水平距离（峰到峰、同方向过零到下个同方向过零）。
• 端点处：速度 0，加速度最大且与位移反向。
• 平衡位置：速度最大，加速度 0。

速度-时间图与加速度-时间图也是正弦，但相对位置图分别相位差 π/2 和 π。

5. 例题精讲

0.50 kg 质点连水平弹簧，$k=200$ N/m，从平衡位置拉离 0.10 m 后释放。 (a) 求周期 $T$ 与角频率 $\omega$。 (b) 求最大速度。 (c) 求距平衡位置 0.05 m 时的速度。

解答。

(a) $T=2\pi \sqrt{0.50/200}=0.314$ s。$\omega =2\pi /T=20$ rad/s。

(b) v_\max = A\omega = 0.10 \cdot 20 = 2.0 m/s。

(c) 能量守恒：$\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}k{x}^2+\frac{1}{2}m{v}^2$。 $1.0=0.25+0.25v^2$ $v^2=3.0$，$v=1.73$ m/s。

6. 易错点

• 单摆周期与质量：单摆周期与质量无关。AP 评分常抓这个错。
• 小角近似：单摆 SHM 是近似；$\theta >15°$ 时实际周期大于 $2\pi \sqrt{L/g}$。AP 题保持在小角范围。
• 振幅与周期：真正的 SHM 中周期不依赖振幅。大角度单摆的振幅却会影响周期。
• SHM 能量：总能量是 $\frac{1}{2}k{A}^2$，不是 \tfrac{1}{2}mv_\max^2。两者大小相等，但应从振幅推导。

7. 练习题（CED 风格）

1. 长 1.0 m 与 4.0 m 的两单摆在地球上振动。求两者周期之比。
2. 0.20 kg 质点连弹簧，周期 0.50 s。求弹簧常数。若振幅 0.05 m，求 v_\max。
3. 单摆从地球（$g=9.8$ m/s²）带到月球（$g=1.6$ m/s²）。周期变为多少倍？

8. 速查表

• 恢复力：$F=-kx$（SHM 定义）。
• 弹簧周期：$T=2\pi \sqrt{m/k}$。
• 单摆周期：$T=2\pi \sqrt{L/g}$（小角度）。
• 位置：$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$。
• v_\max = A\omega 在平衡处；a_\max = A\omega^2 在端点。
• 总能量 = $\frac{1}{2}k{A}^2$。
• 真 SHM 中周期不依赖振幅。

9. 下一步

SHM 接 波和声（Phys 2 拓展）与 流体（流体波动）。也是 AP Phys 2 交流电路与量子振子的概念基础。摆-车、垂直弹簧（含重力补偿）或耦合振子题可问小欧。