力矩与转动 (Torque and Rotational Motion) — AP Physics 1 Phys 1 学习指南

适合谁：AP Physics 1 参加 AP Physics 1 的考生。

覆盖内容：力矩计算、转动运动学公式、转动惯量与转动动能、角动量守恒定律、无滑滚动条件五大核心子主题。

前置知识：Algebra 2、基础三角，不需要微积分。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 AP Physics 1 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 College Board 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 College Board 官方 mark scheme。

1. 什么是力矩与转动？

平动是物体整体沿直线的位移运动，而转动是物体绕固定转轴的圆周运动，力矩（torque）则是改变物体转动状态的核心物理量，对应平动体系中「力」的作用。本章节在AP Physics 1考纲中占比约10%-16%，选择题和自由回答题（FRQ）均会高频考察，常和能量守恒、动量守恒结合出综合性考题。所有转动物理量都可以和你已经掌握的平动物理量一一对应，学习时可以用类比法快速记忆。

2. 力矩 $\tau =rF\sin \theta$

力矩是使物体产生角加速度的原因，是矢量，单位为$\text{Ncdotpm}$。公式中各参数定义如下：

• $r$：转轴到力的作用点的直线距离（单位$\text{m}$）
• $F$：施加的作用力大小（单位$\text{N}$）
• $\theta$：矢量$r$（从转轴指向力的作用点）和作用力$F$的夹角

只有垂直于$r$的力分量才会产生力矩，平行于$r$的分量对转动没有贡献，这也是为什么推门时垂直于门板用力最省力。 范例：门的转轴在左侧边缘，你在离转轴0.8m的位置用10N的力垂直推门，此时$\theta =90^{\circ }$，$\sin 90^{\circ }=1$，因此力矩$\tau =0.8\times 10\times 1=8\text{ Ncdotpm}$；如果你以和门板成30°的角度推同一位置，$\theta =30^{\circ }$，$\sin 30^{\circ }=0.5$，力矩就变为$\tau =0.8\times 10\times 0.5=4\text{ Ncdotpm}$，需要用两倍的力才能达到同样的转动效果。

3. 转动运动学 (Rotational Kinematics)

转动运动学描述匀角加速度下的转动规律，所有公式都可以和匀变速平动公式一一对应，无需额外死记：

匀角加速度转动核心公式： $$\omega ={\omega }_0+\alpha t$$ $$\theta ={\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$$ $${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \theta$$ 范例：一个飞轮从静止开始以$2{\text{ rad/s}}^2$的角加速度转动，求3秒后的角速度和转过的总角度。代入公式得：$\omega =0+2\times 3=6\text{ rad/s}$，$\theta =0+\frac{1}{2}\times 2\times 3^2=9\text{ rad}$（约1.43圈）。

4. 转动惯量与转动动能 (Moment of Inertia and Rotational Kinetic Energy)

转动惯量（moment of inertia, $I$）对应平动中的质量$m$，是物体转动惯性的量度，单位为${\text{kgcdotpm}}^2$。对于质点，$I=m{r}^2$；对于刚体，$I$为所有组成质点的$m{r}^2$之和，考纲会直接给出常见刚体的转动惯量，比如细杆绕端点$I=\frac{1}{3}M{L}^2$、实心球$I=\frac{2}{5}M{R}^2$、圆盘$I=\frac{1}{2}M{R}^2$。注意转动惯量和转轴位置、质量分布直接相关，不是物体的固有属性。

转动动能（rotational kinetic energy）是物体转动具有的能量，对应平动动能$\frac{1}{2}m{v}^2$，公式为： $$K_r=\frac{1}{2}I{\omega }^2$$ 范例：质量为2kg、半径为0.1m的均匀圆盘，角速度为$10\text{ rad/s}$，首先计算转动惯量$I=\frac{1}{2}\times 2\times (0.1{)}^2=0.01{\text{ kgcdotpm}}^2$，代入得转动动能$K_r=\frac{1}{2}\times 0.01\times 10^2=0.5\text{ J}$。

5. 角动量与守恒 (Angular Momentum and Conservation)

角动量（angular momentum, $L$）对应平动中的动量$p$，公式为$L=I\omega$，单位为${\text{kgcdotpm}}^2/\text{s}$，是矢量。角动量守恒定律：当系统受到的合外力矩为0时，系统的总角动量保持不变，即$I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$。最常见的应用是花样滑冰运动员收手臂加速：收手臂时质量靠近转轴，转动惯量$I$减小，因此角速度$\omega$增大，总角动量不变。 范例：花样滑冰运动员张开手臂时转动惯量为$3{\text{ kgcdotpm}}^2$，转速为$2\text{ rad/s}$，收紧手臂后转动惯量变为$1{\text{ kgcdotpm}}^2$，根据角动量守恒，最终转速$\omega =\frac{3\times 2}{1}=6\text{ rad/s}$。

6. 无滑滚动 (Rolling without Slipping)

无滑滚动是指刚体滚动时，接触地面的点瞬时速度为0，没有滑动摩擦，核心条件为： $$v_{cm}=\omega R$$ 其中$v_{cm}$是刚体质心的平动速度，$R$是刚体半径。此时刚体的总动能为平动动能加转动动能之和： $$K_{total}=\frac{1}{2}m{v}_{cm}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$$ 范例：实心球从高度为1m的光滑斜面无滑滚下，求到达底端的速度。机械能守恒$mgh=K_{total}$，代入$I=\frac{2}{5}m{R}^2$和$\omega =\frac{v}{R}$，化简得$gh=0.7v^2$，代入$g=9.8{\text{ m/s}}^2$得$v=\sqrt{\frac{9.8\times 1}{0.7}}\approx 3.74\text{ m/s}$。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误：计算力矩时把$\theta$当成力和接触面的夹角；原因：混淆力臂的定义；正确：$\theta$是转轴到作用点的矢量$r$和作用力$F$的夹角，或直接用垂直于$r$的力分量乘以$r$计算力矩。
2. 错误：计算无滑滚动的动能时只算平动动能，忽略转动部分；原因：把滚动等同于纯平动；正确：只要是滚动，总动能必须包含转动动能，除非题目明确说明是纯平动。
3. 错误：认为角动量守恒的条件是合外力为0；原因：和平动动量守恒的条件混淆；正确：角动量守恒的条件是合外力矩为0，即使合外力不为0，只要力矩之和为0，角动量依然守恒（比如行星绕太阳的椭圆运动）。
4. 错误：把转每秒（rps）直接代入转动公式计算；原因：忽略单位要求；正确：所有转动公式的角度单位必须是弧度（rad），转每秒要乘以$2\pi$转换为$\text{rad/s}$再代入。
5. 错误：认为转动惯量是物体的固有属性，和转轴位置无关；原因：类比平动质量的属性产生的误解；正确：同一根细杆绕端点的转动惯量是绕中心的4倍，转动惯量完全取决于转轴位置和质量分布。

8. 练习题 (AP Physics 1 风格)

第1题

题干：一根长度为2m、质量为1kg的均匀细杆，绕一端的固定转轴自由转动，在杆的另一端施加垂直于杆的5N的恒力，求(1) 施加的力矩大小；(2) 杆的角加速度。 解答： (1) 力矩$\tau =rF\sin 90^{\circ }=2\times 5\times 1=10\text{ Ncdotpm}$ (2) 细杆绕端点的转动惯量$I=\frac{1}{3}M{L}^2=\frac{1}{3}\times 1\times 2^2=\frac{4}{3}{\text{ kgcdotpm}}^2$，根据$\tau =I\alpha$，得角加速度$\alpha =\frac{\tau }{I}=\frac{10}{4/3}=7.5{\text{ rad/s}}^2$。

第2题

题干：质量和半径都相同的均匀圆盘和实心球，从同一斜面顶端同时由静止开始无滑滚下，哪个先到达斜面底端？说明理由。 解答：实心球先到达。无滑滚动时机械能守恒，$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$，代入$\omega =v/R$：

• 圆盘$I=\frac{1}{2}M{R}^2$，化简得$gh=\frac{3}{4}{v}^2$，$v=\sqrt{\frac{4gh}{3}}\approx 1.15\sqrt{gh}$
• 实心球$I=\frac{2}{5}M{R}^2$，化简得$gh=\frac{7}{10}{v}^2$，$v=\sqrt{\frac{10gh}{7}}\approx 1.20\sqrt{gh}$ 实心球的平动速度更大，因此先到达底端。

第3题

题干：一个初始转动惯量为$2{\text{ kgcdotpm}}^2$的转盘，以$3\text{ rad/s}$的角速度无摩擦转动，一个质量为0.5kg的小滑块从转轴处缓慢移动到离转轴0.2m的位置，求滑块移动后转盘的最终角速度。 解答：系统合外力矩为0，角动量守恒。初始角动量$L=I_1{\omega }_1=2\times 3=6{\text{ kgcdotpm}}^2/\text{s}$，最终转动惯量$I_2=2+m{r}^2=2+0.5\times 0.2^2=2.02{\text{ kgcdotpm}}^2$，因此最终角速度${\omega }_2=\frac{L}{I_2}=\frac{6}{2.02}\approx 2.97\text{ rad/s}$。

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

力矩与转动是AP Physics 1的核心交叉考点，后续会和圆周运动、能量守恒、动量守恒结合出占分较高的综合性FRQ，掌握好本章节的平动-转动物理量对应关系，是解决跨章节复杂题的核心基础。你可以优先练习考纲中对应知识点的FRQ，熟悉综合题的出题逻辑。 如果你在练习真题或知识点理解上有任何疑问，随时可以到小欧提问，我们会给你针对性的解答和备考建议。