圆周运动与引力 (Circular Motion and Gravitation) — AP Physics 1 Phys 1 学习指南

适合谁：AP Physics 1 参加 AP Physics 1 的考生。

覆盖内容：向心加速度计算、向心力分析、万有引力定律、开普勒三大定律、圆周运动中的视重问题全考点

前置知识：Algebra 2、基础三角，不需要微积分。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 AP Physics 1 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 College Board 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 College Board 官方 mark scheme。

1. 什么是圆周运动与引力？

圆周运动与引力是AP物理1的核心单元，占考试总分的10%-16%，核心研究两类场景的规律：一是普通物体做圆周运动时的受力与运动关联，二是天体之间通过引力产生的相互作用与轨道运动。本单元内容是后续转动力学、电磁学带电粒子圆周运动考点的基础，考官常结合受力分析、能量守恒出综合题。

2. 向心加速度 $a_c=\frac{v^2}{r}$

物体做匀速圆周运动时，速度大小不变但方向持续变化，因此存在始终指向圆心的加速度，称为向心加速度 (centripetal acceleration)，仅改变速度方向、不改变速度大小。 公式推导基于矢量速度的变化率，AP物理1要求直接记住两个等价表达式： $$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$$ 其中$v$为线速度 (tangential velocity)（单位m/s），$r$为圆周轨道半径（单位m），$\omega$为角速度 (angular velocity)（单位rad/s，描述物体绕圆心转动的快慢）。 小范例：汽车以15m/s的速度通过半径为45m的水平弯道，求向心加速度。代入公式得$a_c=\frac{15^2}{45}=5m/s^2$，约为0.5倍重力加速度。

3. 向心力 $F_c=\frac{m{v}^2}{r}$

根据牛顿第二定律，向心加速度必然由指向圆心的合力提供，这个合力称为向心力 (centripetal force)，公式为： $$F_c=m{a}_c=\frac{m{v}^2}{r}=m{\omega }^{2}r$$ ⚠️ 核心注意：向心力不是独立存在的新力，是重力、弹力、摩擦力、引力等实际力的合力（或某个力的分力）的径向分量，受力分析时绝对不能额外画出"向心力"。 小范例：质量1200kg的汽车过上述弯道，若向心力由地面静摩擦力提供，求最小静摩擦系数。代入得$F_c=1200\times 5=6000N$，静摩擦力等于向心力，即$\mu mg=6000N$，解得$\mu =\frac{6000}{1200\times 9.8}\approx 0.51$。

4. 万有引力 $F_g=G\frac{Mm}{r^2}$

任意两个有质量的物体之间存在相互吸引力，称为万有引力 (universal gravitation)，公式为： $$F_g=G\frac{Mm}{r^2}$$ 其中$G=6.67\times 10^{-11}N\cdot m^2/k{g}^2$为引力常量 (gravitational constant)，$M、m$为两个物体的质量，$r$为两个物体质心之间的距离。 近地表面时，物体的重力近似等于万有引力，因此可以推出常用的"黄金代换"公式：$mg=G\frac{Mm}{R^2}$，约去$m$得$g=\frac{GM}{R^2}$，其中$R$为中心天体的半径，该公式可以在不知道引力常量的情况下关联天体表面重力加速度与天体质量、半径。

5. 天体轨道运动 — 开普勒定律

开普勒定律 (Kepler's Laws) 描述行星绕太阳的运动规律，AP物理1中大部分场景可将轨道近似为正圆：

1. 第一定律（轨道定律）：行星绕太阳的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，近似圆轨道时太阳位于圆心。
2. 第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，因此椭圆轨道上行星在近日点速度快、远日点速度慢。
3. 第三定律（周期定律）：绕同一中心天体运动的所有绕行物体，轨道半长轴（近似圆轨道时为半径$r$）的三次方与公转周期$T$的平方的比值为常量，即： $$\frac{T^2}{r^3}=k$$ 其中$k$仅与中心天体的质量有关，与绕行物体无关，可通过万有引力提供向心力推导得$k=\frac{4{\pi }^2}{GM}$，$M$为中心天体质量。

6. 圆周运动中的视重

视重 (Apparent Weight) 指物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力，不等于物体的实际重力，是圆周运动的高频考点：

• 竖直圆周运动最高点：圆心在物体下方，重力与支持力的合力向下提供向心力，即$mg+N=\frac{m{v}^2}{r}$，因此视重对应的支持力$N=\frac{m{v}^2}{r}-mg$，当$v=\sqrt{gr}$时$N=0$，为完全失重状态。
• 竖直圆周运动最低点：圆心在物体上方，支持力与重力的合力向上提供向心力，即$N-mg=\frac{m{v}^2}{r}$，因此$N=mg+\frac{m{v}^2}{r}$，视重大于实际重力。
• 近地轨道航天器：万有引力全部提供向心力，支持力为0，因此视重为0，处于失重状态，但实际重力依然存在。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误做法：受力分析时额外画出"向心力"作为独立的力；原因：误解向心力的本质，以为它是和重力、弹力并列的基本力；正确做法：受力分析仅画实际存在的力（重力、弹力、摩擦力、引力），列方程时说明哪个（些）力的合力提供向心力。
2. 错误做法：万有引力公式的$r$代入两个物体表面的距离；原因：混淆质心间距与表面间距；正确做法：$r$为两个物体质心的距离，近地轨道的轨道半径为地球半径加轨道高度。
3. 错误做法：认为开普勒第三定律的$k$是普适常量，适用于所有天体系统；原因：不理解$k$的推导来源；正确做法：$k$仅与中心天体质量有关，绕太阳转的行星和绕地球转的卫星$k$值不同。
4. 错误做法：认为失重状态下物体不受重力；原因：把视重为0等同于重力为0；正确做法：失重是视重为0，重力依然存在，只是全部用来提供向心力了。

8. 练习题 (AP Physics 1 风格)

题1

质量为60kg的乘客乘坐半径为12m的摩天轮，摩天轮匀速转动的线速度为3m/s，求乘客在最高点和最低点时对座椅的压力。

解答

• 最高点：合力向下提供向心力，$mg-N_1=\frac{m{v}^2}{r}$，代入数值：$N_1=mg-\frac{m{v}^2}{r}=60\times 9.8-\frac{60\times 9}{12}=588-45=543N$，根据牛顿第三定律，乘客对座椅的压力为543N，小于重力。
• 最低点：合力向上提供向心力，$N_2-mg=\frac{m{v}^2}{r}$，代入数值：$N_2=588+45=633N$，乘客对座椅的压力为633N，大于重力。

题2

已知火星质量为$6.4\times 10^{23}kg$，半径为$3.4\times 10^{6}m$，求火星表面的重力加速度。

解答

用黄金代换公式$g=\frac{GM}{R^2}$，代入数值： $$g=\frac{6.67\times 10^{-11}\times 6.4\times 10^{23}}{(3.4\times 10^6{)}^2}\approx \frac{4.27\times 10^{13}}{1.16\times 10^{13}}\approx 3.7m/s^2$$

题3

两颗卫星绕同一行星运动，卫星A的轨道半径为$r$，公转周期为$T$，卫星B的轨道半径为$9r$，求卫星B的公转周期。

解答

根据开普勒第三定律，同一中心天体的$\frac{T^2}{r^3}$为常量，因此： $$\frac{T^2}{r^3}=\frac{T_B^2}{(9r{)}^3}$$ 解得$T_B^2=T^2\times 729$，即$T_B=27T$。

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

本单元的受力分析方法、万有引力与轨道运动的关联逻辑，是后续转动力学、电磁学带电粒子圆周运动考点的核心基础，也经常和能量守恒、动量守恒结合出占分较高的FRQ题，建议你学完后优先练近5年AP物理1真题中本单元的选择题和FRQ题，巩固公式的应用场景。 如果你在刷题、梳理考点的过程中有任何疑问，都可以随时到小欧提问，我们会为你提供针对性的答疑和备考指导。