向量值函数的积分 — AP 微积分 BC

1. 向量值函数的不定积分与定积分 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

二维向量值函数（AP微积分BC仅考察该形式）的一般形式为 $\vec{r}(t) = \left< x(t), y(t) \right>$，其中 $x(t)$ 和 $y(t)$ 是参数 $t$ 的标量函数（在运动问题中参数几乎总是时间）。利用积分的线性性和向量加法，向量值函数的积分按分量分别计算。

\int \vec{r}(t) dt = \left< \int x(t) dt, \int y(t) dt \right> = \left< X(t) + C_1, Y(t) + C_2 \right> = \vec{R}(t) + \vec{C}

其中 $X(t)$ 是 $x(t)$ 的原函数，$Y(t)$ 是 $y(t)$ 的原函数，$\vec{C} = \left< C_1, C_2 \right>$ 是积分常向量。对于定积分，微积分基本定理可直接推广到向量值函数：

\int_a^b \vec{r}(t) dt = \left< \int_a^b x(t) dt, \int_a^b y(t) dt \right> = \left< X(b) - X(a), Y(b) - Y(a) \right>

向量值函数定积分的结果始终是一个常向量，而不定积分的结果是相差一个常向量的一族向量值函数。这成立的原因是平面运动的x分量和y分量相互独立，积分过程中没有交叉项相互作用。

Exam tip: 在AP考试中，如果题目要求求向量值函数的不定积分，一定要写上常向量；在简答题中，将其写为 $\vec{C}$ 就足以获得常数项的全部分数。

2. 利用初始条件由速度/加速度求位置 ★★★☆☆ ⏱ 5 min

在AP考试中，向量值函数积分最常考察的应用之一，是已知初始条件（例如初始位置 $\vec{r}(t_0) = \vec{r}_0$ 或初始速度 $\vec{v}(t_0) = \vec{v}_0$），已知速度 $\vec{v}(t) = \vec{r}'(t)$ 求位置 $\vec{r}(t)$，或已知加速度 $\vec{a}(t) = \vec{v}'(t)$ 求速度。

整个过程同样遵循按分量积分的规则，之后我们利用给定的初始条件求解未知常数 $C_1$ 和 $C_2$。这与一维运动中由速度求位置完全类似，只是推广到了两个独立分量。

要由速度求位置，重复积分步骤，再利用初始位置求解新的常向量即可。AP简答题通常会同时考察净位移和总路程，二者都依赖这一积分步骤。

Exam tip: 如果简答题要求你求特定时间 $t=T$ 时的位置，不要将答案保留为关于 $t$ 的表达式；一定要将 $T$ 代入位置向量得到最终坐标值，否则你会因未回答题目问题被扣一分。

3. 向量值曲线的弧长与总路程 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

对于 $a \leq t \leq b$ 上由向量值函数 $\vec{r}(t) = \left< x(t), y(t) \right>$ 给出的平面曲线，若 $x'(t)$ 和 $y'(t)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则曲线从 $t=a$ 到 $t=b$ 的弧长 $L$ 等于 $\vec{r}(t)$ 导数的模（在运动问题中等于速率）在区间上的积分。

L = \int_a^b |\vec{r}'(t)| dt = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt

这个公式符合直观：我们将曲线总长度近似为无穷多小段切线的和，每一段长度近似为 $|\vec{r}'(t)| dt$，因此积分得到精确的总长度。对于运动问题，这也是质点从 $t=a$ 到 $t=b$ 的总路程公式。

Exam tip: 不要将弧长/总路程与净位移的模混淆。净位移的模是 $\left| \int_a^b \vec{v}(t) dt \right|$，而总路程是 $\int_a^b |\vec{v}(t)| dt$——二者几乎从不相等。

4. 概念检测 ★★★☆☆ ⏱ 1 min