两条极坐标曲线围成区域的面积计算

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 参数方程、极坐标与向量值函数· 14 分钟阅读

1. 求解两条极坐标曲线的交点★★☆☆☆⏱ 3 min

在计算两条极坐标曲线围成区域的面积之前，你必须先找出所有交点，从而确定目标区域的 $θ$ -取值边界。与笛卡尔坐标系中的曲线不同，极坐标曲线的交点分为两种完全不同的类型：一种是对相同的 $(r, θ)$ 同时满足两条方程的交点，另一种是极点（原点）——两条曲线可以在不同的 $θ$ 取值处到达极点，因此极点经常被遗漏。

在区间 $0 \leq θ < 2 π$ 上解方程 $r_{1} (θ) = r_{2} (θ)$ ，求出所有 $θ$ 。
分别检查每条曲线是否经过极点：如果存在 $θ_{1}$ 使得 $r_{1} (θ_{1}) = 0$ ，且存在 $θ_{2}$ 使得 $r_{2} (θ_{2}) = 0$ ，那么即使解方程 $r_{1} = r_{2}$ 没有得到极点，极点也是交点。

📐 例题

求极坐标曲线 $r = 3 sin θ$ 和 $r = 1 + sin θ$ 的所有交点。

1
令 $r_{1} = r_{2}$ ，求解 $θ$ ：
2
$3\sin\theta = 1 + \sin\theta \implies 2\sin\theta = 1 \implies \sin\theta = \frac{1}{2}$
3
在 $0 \leq θ < 2 π$ 范围内，解为 $θ = \frac{π}{6}$ 和 $θ = \frac{5 π}{6}$ 。
4
检查极点是否为交点：
5
对于 $r = 3 sin θ$ ，当 $θ = 0$ 和 $θ = π$ 时 $r = 0$ 。对于 $r = 1 + sin θ$ ，只有当 $sin θ = - 1$ 时 $r = 0$ ，因此它永远不等于0。极点不是交点。
6
最终交点为： $(\frac{3}{2}, \frac{π}{6})$ 和 $(\frac{3}{2}, \frac{5 π}{6})$ 。

Exam tip:

即使解方程 $r_{1} = r_{2}$ 没有得到解，也一定要检查极点是否为交点。大约每3道AP极坐标面积题中就有1道需要这个步骤才能得到正确的积分区间。

2. 一条曲线完全在另一条曲线内部时的面积计算★★☆☆☆⏱ 4 min

AP考试中最常见的题型是：求较大外曲线内部、且完全在较小内曲线外部的区域面积，其中整个内曲线对所有 $θ$ 都位于外曲线内部。这种情况比相交重叠的曲线更简单，因为你不需要将积分拆分为多个区间。公式由外曲线面积减去内曲线面积推导而来：

A = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \left( \left[r_{\text{out}}(\theta)\right]^2 - \left[r_{\text{in}}(\theta)\right]^2 \right) d\theta

系数 $\frac{1}{2}$ 来自无穷小极扇形的面积公式 $\frac{1}{2} r^{2} d θ$ 。由于对所有 $θ$ 内曲线都小于外曲线，被积函数 $r_{out}^{2} - r_{in}^{2}$ 始终为正，因此不需要绝对值或拆分积分。

📐 例题

求圆 $r = 5$ 内部、心脏线 $r = 2 (1 + sin θ)$ 外部的区域面积。请先验证心脏线完全在圆内部。

1
验证心脏线完全在圆内部：心脏线的 $r$ 最大值为 $2 (1 + 1) = 4 < 5$ ，因此对所有 $θ$ 都有 $r_{in} < r_{out}$ ，所以我们可以使用单积分公式。
2
建立面积积分：
3
$A = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \left[ 5^2 - \left(2(1+\sin\theta)\right)^2 \right] d\theta$
4
使用降幂公式 $sin^{2} θ = \frac{1 - c o s 2 θ}{2}$ 化简被积函数：
5
$25 - 4(1 + 2\sin\theta + \sin^2\theta) = 21 - 8\sin\theta - 4\sin^2\theta = 19 - 8\sin\theta + 2\cos 2\theta$
6
在 $0$ 到 $2 π$ 区间积分并计算结果：
7
$A = \frac{1}{2} \left[ 19\theta + 8\cos\theta + \sin 2\theta \right]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} \left( 38\pi \right) = 19\pi$

Exam tip:

使用这个单积分公式前，一定要确认一条曲线完全在另一条曲线内部。如果内曲线有任何部分延伸到外曲线外部，你就需要在交点处拆分积分。

3. 相交重叠极坐标曲线的面积计算★★★☆☆⏱ 5 min

当两条极坐标曲线相交（没有一条完全在另一条内部）时，它们之间的围成区域会被拆分为多个区间，每个区间内一条是外半径曲线，另一条是内半径曲线。对于这种情况，你必须在每个交点处拆分积分，每个区间使用对应的外半径曲线。两条相交曲线围成区域面积的通用公式是：

A = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2}\int_{\theta_i}^{\theta_{i+1}} \left( \left[r_{\text{out}}(\theta)\right]^2 - \left[r_{\text{in}}(\theta)\right]^2 \right) d\theta

对称性通常可以用来简化计算：将积分区间减半后计算结果再翻倍，这样可以降低计算错误的概率。

📐 例题

求同时位于 $r = 2 cos θ$ 和 $r = 1$ 内部的区域面积。

1
交点在 $θ = \frac{π}{3}$ 和 $θ = \frac{5 π}{3}$ ，极点不是交点。利用关于x轴的对称性，我们先计算 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ 的面积再翻倍：对于 $0 \leq θ \leq \frac{π}{3}$ ，外曲线是 $r = 2 cos θ$ ；对于 $\frac{π}{3} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ，外曲线是 $r = 1$ 。
2
建立利用对称性的积分：
3
$A = 2\left( \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos\theta)^2 d\theta + \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} 1^2 d\theta \right) = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 4\cos^2\theta d\theta + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} 1 d\theta$
4
利用降幂公式 $cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$ 化简并积分：
5
$4\cos^2\theta = 2(1 + \cos 2\theta) \\ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (2 + 2\cos 2\theta) d\theta = \left[ 2\theta + \sin 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} 1 d\theta = \frac{\pi}{6}$
6
将结果相加得到最终面积：
7
$A = \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

位于 $r = 3 sin θ$ 内部、 $r = 1 + sin θ$ 外部的区域面积是多少？
- $π$
- $2 π$
- $3$
- $π + 3$
显示答案
A —
回答正确！交点在 $θ = \frac{π}{6}$ 和 $\frac{5 π}{6}$ ，建立积分并化简后得到最终面积为 $π$ 。

Exam tip:

在AP考试中利用对称性可以将计算量减半。大多数极坐标曲线关于x轴或y轴对称，因此你不需要在整个 $0$ 到 $2 π$ 区间积分。

4. 常见陷阱

错误做法:

忘记检查极点是否为交点，当两条曲线在原点相交但在不同 $θ$ 处到达极点时，会导致区间边界缺失。

原因:

学生认为所有交点都来自解方程 $r_{1} = r_{2}$ ，但即使极点不出现在该解集中，它也可以是交点。

正确做法:

解完 $r_{1} = r_{2}$ 后，一定要分别检查每条曲线是否经过极点；如果两条都经过，就将极点添加为交点并调整你的区间边界。

错误做法:

面积公式中使用 $r_{1} - r_{2}$ 而非 $\frac{1}{2} (r_{1}^{2} - r_{2}^{2})$ 。

原因:

学生将极坐标面积与笛卡尔坐标面积混淆，笛卡尔坐标中直接减去函数即可。极坐标面积依赖于扇形面积，而扇形面积与半径的平方相关。

正确做法:

任何极坐标面积计算开始时，都要先写出系数 $\frac{1}{2}$ ，将两个半径平方后再做减法。

错误做法:

曲线相交时没有在交点处拆分积分，导致区间内使用了错误的内/外半径。

原因:

学生仅仅因为一条曲线在某些角度更大，就假设它在所有位置都更大。

正确做法:

找到所有交点后，在交点之间的每个区间内取一个测试角度，比较每条曲线的半径，确认哪条是外曲线、哪条是内曲线。

错误做法:

对于n为偶数的玫瑰线 $r = sin n θ$ ，在 $0$ 到 $2 π$ 区间积分，导致错误地将面积翻倍。

原因:

学生默认所有闭合极坐标曲线的积分区间都是 $0$ 到 $2 π$ ，但n为偶数的玫瑰线在 $0$ 到 $π$ 区间就已经遍历完所有花瓣。

正确做法:

记住对于玫瑰线 $r = sin n θ$ 或 $r = cos n θ$ ，n为偶数时完整遍历一次的区间是 $0$ 到 $π$ ，n为奇数时是 $0$ 到 $2 π$ 。

错误做法:

忘记对 $sin^{2} θ$ 或 $cos^{2} θ$ 应用降幂公式，导致被积函数无法正确积分。

原因:

学生记住了面积公式，但忘记三角函数极坐标函数平方后需要先化简才能积分。

正确做法:

只要被积函数中出现 $sin^{2} θ$ 或 $cos^{2} θ$ ，积分前立刻应用降幂公式。

5. 速查表

类别	公式/规则	说明
单个极坐标区域的面积	$A = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} r (θ)^{2} d θ$	适用于一条极坐标曲线在 $α$ 到 $β$ 之间围成的区域
极坐标交点检查	解方程 $r_{1} (θ) = r_{2} (θ)$ ；2. 检查极点	即使解方程 $r_{1} = r_{2}$ 没有得到极点，极点也可能是交点
$r_{o u t}$ 内部、 $r_{in}$ 外部的面积	$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (r_{o u t}^{2} - r_{in}^{2}) d θ$	仅当对所有 $θ$ 都满足 $r_{in} < r_{o u t}$ 时使用
相交曲线的面积	$A = \sum \frac{1}{2} \int_{θ_{i}}^{θ_{i + 1}} (r_{o u t}^{2} - r_{in}^{2}) d θ$	在每个交点拆分积分，确认每个区间的内/外曲线
降幂公式： $sin^{2} θ$	$sin^{2} θ = \frac{1 - c o s 2 θ}{2}$	积分三角函数平方项时必需
降幂公式： $cos^{2} θ$	$cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$	积分三角函数平方项时必需
极坐标面积的x轴对称性	$A = 2 \cdot A (θ \in [0, π])$	将计算量减半，降低计算错误
玫瑰线的完整遍历区间	$[0, π]$ 对应偶数 $n$ ， $[0, 2 π]$ 对应奇数 $n$	避免对偶数n的玫瑰线重复计算面积

下一步

掌握两条极坐标曲线围成区域的面积计算，是学习AP微积分BC CED第9单元下一个核心主题——极坐标曲线弧长的重要先决条件。极坐标曲线的弧长计算也依赖于三角函数平方项的积分，因此你在这里练习的降幂和积分技巧可以直接迁移使用。除了第9单元之外，这个主题培养的核心积分熟练度会在AP考试的所有选择题和自由问答题部分被考查，如果你在AP之后继续学习多元微积分，它也会为极坐标下的二重积分打下基础。正确识别交点边界、正确建立面积积分，是所有高阶极坐标应用的基础。