极坐标定义与极形式求导 — AP 微积分 BC
1. 极坐标简介 ★★☆☆☆ ⏱ 15 min
与直角坐标不同，直角坐标中每个点对应唯一的$(x,y)$对，而同一个点在极坐标中可以有多种有效的表示方式。例如，$(r, \theta) = (-r, \theta + \pi)$描述的是同一个点。
要在极坐标和直角坐标之间转换，我们使用以下核心三角关系：
x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ r^2 = x^2 + y^2 \\ \tan \theta = \frac{y}{x}, \quad x \neq 0
2. 推导极导数公式 ★★★☆☆ ⏱ 20 min
极曲线$r = f(\theta)$可以看作参数为$\theta$的参数曲线。我们使用参数求导法则$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$来求切线的斜率。
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dr}{d\theta} \sin \theta + r \cos \theta}{\frac{dr}{d\theta} \cos \theta - r \sin \theta}
3. 水平切线与垂直切线 ★★★☆☆ ⏱ 15 min
我们根据极导数的组成部分，按照以下规则确定极曲线哪里有水平切线或垂直切线：
- 水平切线出现在$\frac{dy}{d\theta} = 0$ **且** $\frac{dx}{d\theta} \neq 0$处
- 垂直切线出现在$\frac{dx}{d\theta} = 0$ **且** $\frac{dy}{d\theta} \neq 0$处
- 如果两个导数都为零，斜率是不确定的，需要进一步分析
Common Pitfalls
Why: $r$是$\theta$的函数，因此两个导数都需要使用乘积法则
Why: 当两个导数都为零时，$\frac{dy}{dx}$是不确定的，不是零，因此不能保证斜率为零
Why: 两个导数的乘积法则形式相似，很容易混淆位置
Why: 很多学生认为负$r$需要先修改$\theta$，但这会带来额外工作量，容易出错